Jeg skal først fortelle litt om Pappos fra Alexandria. Noen velger å kalle denne matematikeren Pappus, og på engelsk gjøres dette konsekvent. Men Pappus er den latinske varianten av hans navn, og i den østlige delen av Romerriket, som Alexandria lå under på Pappos’ tid, da var det gresk som ble brukt. Dette holdt seg helt frem til Konstantinopel falt til tyrkerne i 1453. Da var den siste rest av det gamle Romerriket kommet til veis ende. Men lærde og andre kulturbærere med sin klassiske dannelse og sine bøker yktet til Roma og kom derfra til andre deler av Europa. Fremdeles med sin gresk i behold, som nå hadde fått en annen og mer moderne form enn klassisk gresk fra hellenistisk tid.
Pappos ble født ca. 290 e.Kr. i Alexandria og døde samme sted ca. 350. Han var en betydelig geometer og regnes som den siste av de originale greske geometerne. Pappos’ hovedverk har tittel Synagoge eller Matematiske samlinger. Verket består av åtte bøker, og sammenfatter mye eldre arbeid. Siden originalene i mange tilfelle er gått tapt, er Pappos den eneste kilden vi har.
Han skriver et sted noe slikt som dette (se [5]):
Bier vet hva de har nytte av, for eksempel at en sekskant er bedre enn et kvadrat eller en trekant når det gjelder å lagre mest mulig honning med bruk av minst mulig materialer. Men vi, som gjør krav på å vite mer enn biene, vil undersøke et noe videre problem. Nemlig at av alle polygoner med like store vinkler og like store sider, og med samme omkrets, er det alltid den som har est vinkler som har størst areal. Og sirkelen med samme omkrets har areal større enn noen av dem.
Men i dag kan vi nok se at det er biene som ler sist i dette tilfellet. For idag vet vi enda mer enn de gjorde på Pappos’ tid, og vi vet at det er nok de regulære sekskantene som er best: For da går det ikke noe av byggematerialene til spille på grunn av tomrommet mellom lagringskarene. Med sirkulære kar blir det mye tomrom innimellom.
Pappos beviste også nye resultater, fire av dem er av spesiell interesse. For det første beviste Pappos det som i dag bare kalles Guldins regel. Dette resultatet lyder slik:
Setning 1 Dersom et plant areal av størrelse A roterer om en linje i planet som ikke skjærer arealet, da er volumet av rotasjonslegemet lik AL, der L er lengden av omkretsen til den sirkelen som beskrives av arealets tyngdepunkt.
Setning 2 Overaten av rotasjonslegemet er omkretsen til A multiplisert med omkretsen til sirkelen som tyngdepunktet til As omkrets beskriver.
Pappos beviste også to geometriske setninger. Den ene av dem er kalt opp etter Desargues, men ble altså først vist av Pappos. Disse interessante og vakre setningene faller utenfor rammen vår denne gangen, og jeg skal ikke gå nærmere inn på dem nå, men henviser isteden til [2] eller til [1], som er skrevet på norsk. Pappos beviste, eller mer sannsynlig, gjenga, denne generaliseringen av Pytagoras’ setning. Jeg har gitt den i form av en oppgave i [3]:
La trekanten ABC være gitt. På sidene AB og AC konstrueres vilkårlige parallellogrammer ABDE og ACFG. La forlengelsene av DE og FG møtes i punktet H, og trekk linjen HA. Da er summen av arealene til ABDE og ACFG lik arealet av parallellogrammet BCML der L ligger på DH og BL er parallell med AH, og M ligger på FG og CM er også parallell med AH.Nedenfor ser vi den generelle situasjonen, nederst er ABC rettvinklet. For en interaktiv versjon av disse illustrasjonene, klikk på den enkelte figuren:
Bevis: Vi bemerker at arealet av parallellogrammet ABDE er lik arealet av BLHA, da de har felles grunnlinje BA og høydene er like, nemlig lik avstanden mellom de parallelle linjene BA og DE. Men BLHA og BLNK har samme grunnlinje BL og like høyder, nemlig avstanden mellom parallellene BL og KH, så arealene er like. Altså har ABDE og NKBL like store arealer. Av samme grunner har ACFG og NKCM like store arealer, og påstanden følger.
Det finnes mange ulike bevis for Pytagoras’ setning. Noen av de aller enkleste er gjengitt i [4], men det beviset som har vært mest brukt i undervisningen er sannsynligvis Euklids eget bevis. Det beviset er et spesialtilfelle av Pappos’ bevis, og er lagt ut som en interaktiv prosess (klikk på figurene i artikkelen). Men når en har så enkle bevis som de fra [4], hvorfor har da Euklid valgt et så komplisert bevis? Visste han ikke bedre? Jo, både Euklid og Pytagoras visste nok bedre. Jeg kommer tilbake til forklaringen på dette mysterium i den neste spalten. Så følg med!