Strategiopplæring i matematikk

Et forsømt tema i begynneropplæringen?

Undersøkelser har vist at tilkortkomming i matematikk er et relativt vanlig fenomen. Eksempelvis kunne tall som ble lagt fram ved «Det 1. nordiske forskerseminar om matematikkvansker» i Kristaiansand høsten 2001 tyde på at 15–20 % av norske elever går ut av ungdomsskolen uten å beherske de fire regningsartene. Kan dette være resultatet av mangelfull strategiopplæring i begynneropplæringen?
Artikkelforfatteren har i løpet av de senere år gjennomført flere undersøkelser for å kartlegge elevenes strategibruk under oppgaveløsningen i faget (f.eks. Ostad, 1999a). De mest interessante enkeltresultatene fra disse undersøkelsene synes å være knyttet til forholdet mellom elevenes strategibruk og kvaliteten på de matematikkunnskapene elevene tilegner seg. Dette forholdet kommer blant annet til uttrykk i at elever med matematikkvansker benytter andre og mindre hensiktsmessige strategier enn de øvrige elevene. Ettersom manglende/mangelfulle strategikunnskaper og ineffektiv strategibruk ser ut til å kunne hindre et normalt utviklingsforløp, er det grunn til å rette fokus både på omfaget og kvaliteten på den strategiopplæring som elevene møter i begynneropplæringen. I dette innlegget vil jeg etter å ha avgrenset strategitermen, skissere bakrunnen for strategiopplæring, fokusere på hvordan systematisk strategiobservasjon og strategiopplæring kan foregå og avslutte med en kortfattet informasjon om et prosjektarbeid som er igangsatt i Hå kommune i samarbeid med Senter for leseforskning i Stavanger.

Strategitermen

Goldman (1989) skiller mellom to hovedkategorier av strategier, nemlig generelle strategier og oppgavespesifikke strategier.

Den førstnevnte kategorien, dvs. generelle strategier, er vid og inkluderer de psykologiske betingelsene som ligger til grunn for arbeidet med å oppnå hensiktsmessig oppgaveløsning og funksjonelle matematikkunnskaper. Disse strategiene, også kalt metakognitive strategier, retter ofte oppmerksomheten mot matematikkopplæringen, mot de metodiske oppleggene som anvendes i undervisningen, mot lærebøkene osv.

Den andre kategorien, dvs. oppgavespesifikke strategier, refererer seg til de alternative fremgangsmåtene elevene tar i bruk i oppgaveløsningen. Oppgavespesifikke strategier inkluderer fremgangsmåter av forskjellig art og kompleksitet. Forskere har derfor lagt vekt på å komme frem til relevante klassifiseringsmåter. De mest vanlige skiller mellom ’retrievalstrategies’ og ’backupstrategies’ (også kalt henholdsvis ’thinking strategy solutions’ og ’counting strategy solutions’). Gis eleven oppgaven 7×9= , kan utsagnet 7×9=63, dvs. oppgaven og svaret, være lett tilgjengelig i et fleksibelt kunnskapslager som inkluderer slike aritmetiske basisenheter. Derfor kan denne enheten ’hentes frem’ fra lageret umiddelbart som en meningsbærende enhet. Eleven som kjenner igjen oppgaven og vet svaret, benytter en ’retrieval’-strategi. Men en elev kan alternativt ta i bruk en ’backup’-strategi hvor han/hun følger ’en oppskrift’ steg for steg. Er oppgaven 7×9= , kan eleven f.eks. telle sju tellesteg ni ganger og komme frem til det riktige svaret:
(Se Ostad, 1999a for oversikter over alternative ’backup-’ og ’retrieval’-strategier i addisjon, subtraksjon og når det gjelder tekstoppgaver.)

Basis for strategiopplæring

I faglitteraturen har ulike begreper blitt brukt for å beskrive de psykologiske fenomenene som ligger bak forskjeller i strategibruk individer i mellom. Et av de mest sentrale begrepene er strategifleksibilitet, et uttrykk som reflekterer kvaliteten på elevenes strategikunnskaper og som gjenspeiles ved at eleven er i stand til å variere strategibruken fra situasjon til situasjon. Når eleven ensidig innenfor rammen av en lengere tidsperiode (f. eks. en 2-årsperiode) benytter samme strategi uten å variere strategibruken fra situasjon til situasjon, kan det skyldes strategirigiditet.
Undersøkelser viser imidlertid at forskjeller i strategibruken individer i mellom ikke kan forklares utelukkende i forhold til strategifleksibilitet. Domenespesifikk kunnskap, dvs. substansiell faktakunnskap, synes å representere en viktig komponent i effektiv strategibruk. I de senere år er det lagt frem data som sannsynliggjør at mengden av elevens faktiske kunnskaper om ulike strategier og deres anvendelsesområder reflekteres i omfanget av variasjon i strategibruken under oppgaveløsningen. Derfor synes manglende eller mangelfulle strategikunnskaper, det jeg vil kalle strategifattigdom, å representere en kritisk faktor for normal strategiutvikling.
Forskere har forankret evnen til å tilegne seg og anvende matematikkunnskaper både til retrieval- og til prosedyremessige ferdigheter (f.eks. Geary, 1993). Normalutviklingen av oppgavespesifikke strategier synes å følge et relativt fast mønster fra de mest primitive tellestrategiene gjennom verbal telling med gradvis mer bruk av ’retrieval’-strategier opp gjennom grunnskolealderen. Gradvis lagres kunnskaper om nye strategier, ’backup’-strategier så vel som ’retrieval’-strategier. Strategier som barna tidligere anvendte, blir av ulike grunner mindre aktuelle og forlates til fordel for de nye. Sluttresultatet blir imidlertid oftest at kunnskapsmengden om strategier øker og elevene får derfor et rikere utvalg av bruksdisponible strategier. Mens strategifattigdom kjennetegner strategikunnskapene blant de yngste elevene kjennetegner strategirikdom storparten av de eldste elevene (f.eks. Ashcraft, 1992).
Hovedmønsteret for normal utvikling er altså preget av en avtagende bruk av telling og andre ’backup’-strategier, mens retrievalstrategier gradvis spiller en mer sentral rolle. Samtidig foregår det normalt en utvikling innenfor rammen av ’backup’-strategier. Det bruksdisponible utvalget blir ikke bare rikere, men de eksisterende strategiene omdannes slik at de fungerer mer hensiktsmessig under oppgaveløsningen. Dessuten skjer det en kvalitativ forandring av strategikunnskapene i retning av større fleksibilitet i forhold til å kunne tilpasse strategikunnskapene til ytre og indre (kognitive) variasjoner fra situasjon til situasjon (Siegler & Jenkins, 1989; Ostad, 2000).
Elever med matematikkvansker synes derimot tidlig, allerede i andre klasse, å gli inn i et utviklingsmønster preget av strategirigiditet og strategifattigdom. Utviklingsmønsteret profilerer disse elevene som karakterisert ved: (1) ensidig valg av ’backup’-strategier, (2) valg av de mest primitive ’backup’-strategiene, (3) liten variasjonsgrad i valget mellom ulike strategivarianter og (4) lav endringsgrad i strategivalget fra år til år opp gjennom grunnskolealderen (Ostad, 1997, 1998, 1999b, 2000).

Strategiopplæring

Strategiopplæring kan rettes mot oppgavespesifikke strategier med det formål å utvide elevenes kunnskapsmengde om strategier og strategibruk. Modeller for slik opplæring, som ofte inkluderer direkte instruksjon, bygger på den forutsetning at en større mengde oppgavespesifikke strategikunnskaper gjør eleven bedre i stand til avgjøre når, hvor, hvordan og hvorfor en strategi er hensiktsmessig (Goldman, 1989). Flavells grunnleggende studier blant yngre barn og barn med lærevansker (Flavell et al, 1997) viste imidlertid at strategikunnskaper ikke alltid i seg selv representerte et aktivum for en funksjonell strategianvendelse. Mange barn forholdt seg passive uten at det foregikk en spontan strategibruk, et fenomen Flavell karakteriserte som produksjonssvikt. Også andre undersøkelser tyder på at når fokus rettes ensidig mot det å øke mengden av strategikunnskaper, uteblir i for stor grad generaliserings- og langtidseffekten av opplæringen (Goldman, 1989).
Mer lovende opplegg for systematisk strategiopplæring har tatt utgangspunkt i generelle strategier og blitt gjennomført innenfor en metakognitiv teoriramme. Som et fundament for oppleggene ligger forskningsresultater som har vist at hensiktsmessig strategibruk er en funksjon av metakognitiv kompetanse, dvs. av kunnskap om og styring av egen kognitiv virksomhet. Funksjonelle kunnskaper om egen kognitiv virksomhet inkluderer ikke bare elevens oppgavespesifikke strategikunnskaper, men også kunnskaper om læring og kunnskaper om egen læringssituasjon i vid betydning (evner, holdninger, motivasjon, påvirkningskilder i læringssituasjonen, osv.). Regulering og kontroll av løsningsprosessen kan ikke utøves på hensiktsmessig måte i et kunnskapsmessig vakuum. Det må utøves i et samspill med såvel domenespesifikke matematikkunnskaper, oppgavespesifikke strategikunnskaper som kunnskaper om egen kognitiv virksomhet (Schoenfeld, 1985).
Funksjonell strategibruk synes altså å være avhengig av domenespesifikke strategikunnskaper. Men når strategiopplæringen legges innenfor en metakognitiv teoriramme, er målet for opplæringen ikke primært rettet mot å øke mengden av domenespesifikke strategikunnskaper (skjønt det er viktig nok også sett fra et metakognitivt perspektiv!), men mot å bevisstgjøre eleven sitt eget repertoar av strategikunnskaper slik at løsningsprosessen kan foregå på en mer kontrollert måte.
Begynneropplæring basert på systematisk strategiobservasjon og strategiopplæring
Systematisk strategiobservasjon og strategiopplæring inngår som et sentralt ledd i et flereårig prosjekt som ble igangsatt i Hå kommune etter nyttår 2002. Det dreier seg om et samarbeidsprosjekt mellom kommunen og Senter for leseforskning i Stavanger. Kommunen har oppnevnt egen koordinator for prosjektet, og artikkelforfatteren er prosjektleder.
Målet er ikke bare å øke mengden av domenespesifikke strategikunnskaper, men å bevisstgjøre elevene sitt eget repertoar av slike kunnskaper. Her spiller naturligvis læreren en sentral rolle. Lærerne får derfor opplæring gjennom forelesninger og demonstrasjoner og gjennom egenpraksis under supervisjon.
Utgangspunkt for strategiobservasjon er et system utviklet av artikkelforfatteren for en tid tilbake (Ostad, 1999) og som er videreutviklet slik at det er praktisk anvendelig for lærerne. Fra høsten 2003 vil alle andreklassingene i kommunen (ca. 200 elever) på ulik måte være inkludert som deltakere.
Når det gjelder strategiopplæringen, er vi opptatt av å kartlegge effekten av ulike metoder. I startfasen har metoder knyttet til verbalisering, dvs. språklig bearbeiding, fått en særlig sentral plass. Vi bygger på tidligere forskning der resultatene viser (1) at systematisk språklig bearbeiding kan bidra til at oppmerksomheten rettes mot de vesentlige trekkene i løsningsprosessen slik at valget av enkeltstrategier i større grad kan foregå bevisst og kontrollert og (2) at slik bearbeiding kan bidra til utviklingen av kunnskapsstrukturer som gir større fleksibilitet i strategibruken (f.eks. Goldman, 1989).
Det praktiske opplegget gjenspeiler i stor grad Vygotskys teori (1986) om overføring av kunnskap fra det interpersonlige til det intrapersonlige plan og om utvikling fra ytre til indre verbal kontroll. Det eleven først kan klare med hjelp fra voksne, vil han/hun siden kunne klare alene. Når strategiene er internalisert lar de seg aktivisere av indre tale.
Det foreligger solid dokumentasjon av den betydning språklydprosesser (fonologisk prosessering) har i så vel normal leseutvikling som i dysleksi. Undersøkelser de senere år viser at språklyder blir aktivisert også når eleven løser oppgaver i matematikk (f.eks. Geary, 1993).
Det ville følgelig åpenbart være av interesse å undersøke om mangelfull eller uhensiktsmessig fonologisk prosessering kan bidra til utvikling av matematikkvansker. Utfordringer som knytter seg til stimulering til utvikling og oppgaverelevant bruk av indre tale har derfor fått en sentral plass i prosjektet.
Tidligere undersøkelser av indre tale synes å ha frembrakt resultater som kanskje kan danne basis for ny innsikt når det gjelder matematikkvansker. Men en rekke sentrale spørsmål står fortsatt ubesvart. Undersøkelser (f.eks. Flavell et al. 1997) indikerer at barn i førskolealder har lite kunnskap om egen indre tale og liten bevissthet om hvordan slik tale kan benyttes som strategi ved oppgaveløsning. Men i hvilken grad gjelder dette også eldre elever, dvs. elever i grunnskolen, og er det noen forskjell på elever med og uten matematikkvansker når det gjelder dette fenomenet? Mine tidligere undersøkelser har klart dokumentert forskjeller i strategibruk mellom elever med og uten matematikkvansker. Flere aktuelle spørsmål reiser seg derfor: I hvilken grad og på hvilken måte har dette sammenheng med elevenes strategibruk og deres kunnskaper og bevissthet om indre tale? Kan ’retrieval’-strategier stimuleres og matematikkvansker forebygges gjennom systematisk opplæring av elevene til selv å ta i bruk indre tale under oppgaveløsningen? Hvordan bør slik opplæring foregå? Dette er eksempler på spørsmål som blir forsøkt belyst gjennom Hå-prosjektet.

Referanser

Ashcraft, M.H. (1992). Cognitive arithmetic: A review of data and theory. Cognition, 44, 75–106.
Flavell, J.H., Green, F.L., Flavell, E.R., & Grossman, J.B. (1997). The development of children’s knowledge of inner speech. Child Development, 68, 39–47.
Geary, D.C. (1993). Mathematical disabilities: Cognitive, neuropsychological and genetic components. Psychological Bulletin, 114, 345–362.
Goldman, S.R. (1989). Strategy instruction in mathematics. Learning Disability Quarterly, 12, 43–55.
Ostad, S.A. (1997). Developmental differences in addition strategies: A comparison of mathematically disabled and mathematically normal children. British Journal of Educational Psychology, 67, 345–357.
Ostad, S. A. (1998). Developmental differences in solving simple arithmetic word problems and simple number-fact problems: A comparison of mathematically normal and mathematically disabled children. Mathematical Cognition, 4(1), 1–19.
Ostad, S.A. (1999a). Elever med matematikkvansker. Studier av kunnskapsutviklingen i strategisk perspektiv. Oslo: Unipub forlag.
Ostad, S.A. (1999b). Developmental progression of subtraction strategies: A comparison of mathematically normal and mathematically disabled children. European Journal of Special Needs Education, 14 (1), 21–36.
Ostad, S. A. (2000). Cognitive subtraction in a developmental perspective: Accuracy, speed-of-processing and strategy-use differences in normal and mathematically disabled children. Focus on Learning Problems in mathematics, 22(2), 18–31.
Siegler, R.S., & Jenkins, E. (1989). How children discover new strategies. Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Schoenfeld, A.H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando, FL: Academic Press.
Vygotsky, L. S. (1986). Thought and language (A. Kozulin, Trans.). Cambridge, MA: MIT Press. (Original work published 1934.)