Tangenten 2/2003

Elisabet Lindland

Tallet 10 – bare enda et siffer1?

Posisjonssystemet i 2. klasses lærebøker

Å bli kjent med posisjonssystemet er viktig for den enkelte elevs matematiske utvikling. Det er grunnlaget for elevens videre tallforståelse. Læreboka har tradisjonelt vært viktig i arbeidet med dette. Da jeg som student ved Matematikk 2 (10 vektall) ved Høgskolen i Stavanger skulle skrive en større oppgave, valgte jeg temaet «Posisjonssystemet i 2. klasse og noen lærebøkers presentasjon av emnet». Denne artikkelen er basert på dette arbeidet. Jeg vil gi et kort historisk tilbakeblikk parallelt med at jeg ser på barns utvikling av en forståelse for posisjonssystemet. Her kan man finne mange likheter, og ut fra dette arbeidet stiller jeg følgende spørsmål i møte med lærebøkene:
– Hvordan blir tallet 10 presentert?
– Hvordan blir 0 presentert?
– Når presenteres posisjonssystemet?
– Hvordan gjøres dette?

Til slutt vil jeg si noe om lærerens rolle i forhold til lærebøkene og posisjonssystemet.

Utvikling av posisjonssystemet

Utviklingen fram til det posisjonssystemet vi bruker i dag, tok over 30 000 år. Veien fram dit har vært både lang og kronglete. Piaget mener at mye tyder på at barns intelligensutvikling følger den historiske utviklingen av kunnskaper. «Dersom menneskeheten brukte lang tid på å utvikle en bestemt kunnskap, er det rimelig å anta at det vil være en kunnskap som barna trenger tid på å tilegne seg.» (Høines, 1998: 21). I L97 er det et mål for andre klasse at elevene skal «arbeide med symboler for tall, spesielt med vanlige siffer, og bli klar over enerplass og tierplass» (L97, 1996: 159). Vi venter altså at sjuåringer skal ha lært en god del av det menneskeheten brukte over 30 000 år på å utvikle!
Historisk sett er parkobling begynnelsen til telling – også barn bruker parkobling: «Han holder hendene i været og tar på en og en finger mens han sier høyt: ’En for meg, to for Martin, tre for mamma …’» (Solem og Reikerås, 2001:145). Parkobling er viktig i barns utvikling, og etter hvert som mengdene blir større, blir det vanskeligere å holde oversikten. Barnet får behov for å gruppere. Ved opptellinger bruker vi ofte tellestreker gruppert i femmere, men barnet kan også finne andre grupperinger hensiktsmessige – med eller uten hjelp fra en voksen. Høines forteller om elever som grupperte streker i fem og fem. Da det ble behov for å skrive store tall, bestemte de seg for å tegne femmeren som en sirkel (femkrone) og tieren som et rektangel (Høines, 1998: 61). På den måten laget elevene et additivt system.
Fram til 1700-tallet var det i stor grad additive system som var i bruk, da er det det enkelte tegn som har verdi, og verdiene for de ulike tegnene adderes (Høines, 1998). I additive system tar man ikke hensyn til plasseringen av de enkelte tallsymbolene, og ved gruppering tar man heller ikke hensyn til plasseringen. ’Et knytte’ med fem er fem uansett plassering. Romertallene som enda er i bruk, er opprinnelig bygd opp etter dette prinsippet2.
Barn kan oppfatte posisjonstallsystemet som et additivt system: «Jens 6 år sitter og blar i en lekekatalog. Plutselig peker han på et bilde og utbryter: ’Pappa, den bilen koster bare ti kroner!’» Prisen var kr 190,– (Solem og Reikerås, 2001:153). Jens ser på 190 som additive tallsymboler, 1+9+0=10.
Additive systemer er til tross for sin enkle oppbygging kompliserte. Dette merket særlig de samfunnene som hadde behov for å holde store regnskap. De trengte en egen yrkesgruppe til dette, såkalte abacister. Ved hjelp av de indoeuropeiske tallsymbolene og posisjonssystemet kunne vi få en gradvis generalisering av regnemetodene slik at de ble tilgjengelige, også for lekfolk, (Ifrah, 1997). I stedet for å la hvert enkelt tallsymbol ha en verdi, skulle stedet tallsymbolet sto på, bestemme verdien av tallsymbolet. 35 betyr for eksempel ikke åtte. Tre-tallet alene betyr tre enere, men tre foran et fem-tall (35) betyr tre tiere. Og tre tiere pluss fem enere, blir trettifem. Posisjonssystemet gjør tallbehandlingen mindre arbeidskrevende.
Den sumeriske kulturen i Mesopotamia var den første kulturen som utviklet et slags posisjonssystem. Det skjedde i det tredje årtusen før Kristus. Babylonerne brukte kileskrift. De hadde et additivt system for tallsymbol til og med 59. Men symbolet for 1 ble også brukt som symbol for 60. Babylonerne hadde altså et sekstitallsystem. Men det tok enda lang tid før 0 fikk sin rolle som plassholder. Og først på 1700-tallet ble posisjonssystemet brukt av folk flest her i Europa, (Ifrah, 1997).
Innføringen av posisjonssystemet var et enormt framskritt. Vi kan uttrykke all verdens tall ved hjelp av få tallsymbol, men posisjonssystemet er mer abstrakt enn additive systemer. Elever skal bli kjent med titallssystemet i andre klasse. Det er i den sammenhengen at lærebøkenes presentasjon av posisjonssystemet er interessant. Jeg har sett nærmere på hvordan 10 og 0 presenteres. Grunnen til dette er at 10 er det første tallet som utnytter posisjonssystemet – tallsymbolet 1 betyr ikke bare en ener, det kan også bety en tier: Symbolet for en får en ny plass, og en null viser at ener-plassen er tom. Tall som 3 og 7 kunne like gjerne vært en del av et additivt system. 0 har også en særstilling i forhold til posisjonssystemet. Det er nært knyttet til det faktum at tallsymbolets posisjon er avgjørende. Jeg vil også se nærmere på når posisjonssystemet blir presentert og hvordan. Posisjonssystemet blir indirekte presentert når 10 blir presentert, men flere lærebøker velger likevel å presentere posisjonssystemet i en annen sammenheng. Jeg har valgt ut følgende lærebøker: Tusen millioner, Pluss, Delta og Matematikktakk.3 Dette er de to verkene som har henholdsvis høyest salgstall og de to som har lavest salgstall.

Hvordan blir tallet 10 presentert?

Tallet 10 blir presentert på samme måte som foregående tallsymbol i alle de aktuelle bøkene som er beregnet for elevene: Elevene skal skrive tallsymbolet og tegne riktig antall ting (Figur 1). Men lærerens bok påpeker i noen tilfeller endringen når det gjelder posisjonssystemet. I lærerens bok som hører til Pluss og Tusen Millioner, uttrykkes det klart at noe spesielt skjer når 10 presenteres. Man snakker om grupperinger i tier-mengder og om hvor mange tiere og enere det er i det enkelte tallet, (Gjedrum og Skovdal, 1997c:111). Men hvorfor er det praktisk å bruke enere og tiere, spør man i Pluss. Elevene må få anledning til å undre seg: Er det fordi vi har ti fingre? Hvorfor lager vi akkurat enkroner, femkroner og tikroner?, (Haanæs og Dahle, 1997c: 26). Delta foreslår i lærerens bok at presiseringen av posisjonssystemet skal utsettes og at tallet 10 skal innføres på tilsvarende måte som de foregående, altså som et nytt tallsymbol på lik linje med 9, (Myrmo, Rustad og Tverås, 1997c: 29).

Hvordan blir 0 presentert?

0 har en annen historisk motivasjon enn de andre tallsymbolene: Den ble innført som en plassholder. I lærebøkene presenteres null som en mengde på lik linje med de øvrige tallsymbolene og innføres midt blant de andre tallsymbolene (Figur 2). I lærebøkene jeg har sett på, presenteres tallsymbolene etter stigende rekkefølge, mens null har fått en vilkårlig plassering midt i tallrekka. «Denne mengden er det viktig å trene godt på,» står det eksempelvis i lærerens bok som hører til Delta, (Myrmo, Rustad og Tverås, 1997c: 21). Ingen av lærebøkene jeg har sett på, presenterer null på andre vilkår enn de øvrige tallsymbolene.

Når presenteres posisjonssystemet? Og hvordan gjøres det?

Det er vanskelig å bedømme når posisjonssystemet presenteres i de ulike læreverkene. Det kan være snakk om små smakebiter som arbeid med tiervenner eller lignende. Slik jeg ser det, har man begynt arbeidet med posisjonssystemet når elevene ifølge lærerens bok skal jobbe eksplisitt med enere og tiere.

Pluss begynner med posisjonssystemet når tallet 10 presenteres (jf. Hvordan blir tallet 10 presentert?). Viktigheten av oppfølging blir også påpekt: «Undersøk om barna forstår hensikten med å samle elementene i tiere og enere. Har barna gode begrunnelser, er de på god vei til å forstå titallssystemet.» (Haanæs og Dahle, 1997c: 66). Dette følges stadig opp, og gjennom lærerens bok blir man ofte minnet på hvor viktig det er at alle elever virkelig har forstått posisjonssystemet. Det brukes en del ’drill’ for at elevene skal lære dette. De skal kunne dele tall i tiere og enere (figur 3). Det kan gjøres ved å tegne tierstaver og enere, eller ved å skrive tall på utviklet form.
Tusen Millioner begynner med tallet elleve det systematiske arbeidet med posisjonssystemet. Her går aktivitetene ut på å dele tall opp i tiere og enere ved hjelp av blant annet regneperler og samtale rundt tallsymbol. Men det brukes også mynter i arbeidet med å bli fortrolig med posisjonssystemet. For at elevene bedre skal forstå posisjonssystemet har denne læreboken valgt å presentere den vanlige oppstillingen med tall under hverandre på oppgaver av typen 14+3= og 15–4=: «… oppstillingen er godt egnet til å belyse plassverdisystemet, og vi har derfor valgt å fargelegge tierplassen og enerplassen med forskjellige farger.» (Gjedrum og Skovdal, 1997c: 159) (Figur 4).
Delta velger som nevnt å utsette arbeidet med posisjonssystemet. Alle tall fra 0 til 20 presenteres som ulike tallsymbol, men en idé til aktivitet er å «konkretisere og skrive tallene som 10+_, for eksempel 12=10+2», (Myrmo, Rustad og Tverås, 1997c: 35). Først når 50 er presentert, innføres «strukturen i oppbyggingen av tallsystemet vårt.», (Myrmo, Rustad og Tverås, 1997c: 38). Da blir det lagt vekt på konkretiseringsmateriell. Flere ulike typer konkretiseringsmateriell er nevnt, slik at læreren kan velge og vurdere hva han/hun mener er best for elevene. Delta får ikke poengtert nok at det er forståelsen som er i sentrum. Et viktig ledd i forståelsen er ifølge Delta å vite hvilket tall av flere oppgitte som er det største og forklare hvorfor.
Matematikktakk presenterer bare tallene fra 0 til 10 systematisk. Senere jobber de med alle tallene fra 0 til 99, og da presenteres posisjonssystemet parallelt. Da tas blant annet en tallplate i bruk. Tallplaten er formet som et kvadrat og går fra 0 til 99. Tallplaten kan være til hjelp for å finne mønster og være utgangspunkt for undring. Matematikktakk tar også i bruk veiing som en hjelp for å forstå posisjonssystemets oppbygging (Figur 5). Det brukes da 10-grams lodd og 1-grams lodd (som kan lages av centikuber).

Lærerens rolle i arbeidet med posisjonssystemet

Mitt mål har ikke vært å sette lærebøker opp mot hverandre, men å finne ut noe om hvordan lærebøkene behandler posisjonssystemet. Stort sett er oppbyggingen av elevenes bøker nokså samsvarende. Å bli fortalt at man skal gruppere en mengde i tiere og enere og deretter skrive tallet med tilsvarende tallsymbol og omvendt å analysere tall i enere og tiere er vanlige oppgaver.
Hvordan er lærernes holdninger til læreverket på det enkelte lærerrom? Hvordan er bevisstheten rundt lærerens bok? Hvilken rolle skal den spille? Man kan finne forklaringer på hvordan man skal innføre tallsymbolet 0, men sjelden på hvorfor det skal gjøres på denne måten. I den travle skolehverdagen er det av ulike grunner lett å følge læreboka mer eller mindre slavisk, (se for eksempel Holm-Olsen og Storheim, 2002:10). Men hvilke konsekvenser vil det få når man ikke får svar på noen hvorfor? Hvis man for eksempel hadde blitt presentert for ulike alternativer, måtte den enkelte lærer ta stilling til hva han/hun syntes var best. Det samme kunne vært resultatet hvis det var gitt plass til litteratur om teori og forsk­ning rundt posisjonssystemet i lærerens bok. Kanskje hadde det vært en idé med henvisninger til litteratur om emnet, slik at læreren kunne hatt anledning til å finne relevant teori for å bli mer bevisst på sine valg?
«En god lærer kan sitt stoff, og vet hvordan det skal formidles for å vekke nysgjerrighet, tenne interesse og gi respekt for faget.» (L97, 1996: 31). Som profesjonell yrkesutøver er det vesentlig at man stadig jobber med å besvare hvorfor-spørsmålene og ikke bare ser etter hvordan lærebøkene har gjort det. Når læreren velger bevisst og begrunner sine valg på grunnlag av faglig og pedagogisk kompetanse, vil læreren få et eierforhold til stoffet. Dette vil elevene nyte godt av i arbeidet med å forstå posisjonssystemet.

Litteratur:

Ellingsrud, Geir og Strømme, Kristin Eli (1999). Lykkehjulet. NKS-forlaget.
Holm-Olsen, Petter og Storheim, Liv (2002). Mindre av det same og meir av noko anna. I Tangenten 3/2002, s. 10-14.
Høines, Marit Johnsen (1998). Begynneropplæringen. Caspar Forlag.
Ifrah, Georges (1997/[1981]). All verdens tall - Tallenes kulturhistorie 1 og 2. Norge: Pax Forlag A/S.
Læreplanverket for den 10-årige grunnskolen (1996). Det kongelige kirke-, utdannings- og forskningsdepartement.
Solem, Ida Heiberg og Reikerås, Elin Kirsti Lie (2001). Det matematiske barnet. Caspar Forlag.

Lærebøker:

Fosse, Trude og Sælensminde, Anne Kari (1996a). ”Matematikktakk 2A”. Det Norske Samlaget.
Fosse, Trude og Sælensminde, Anne Kari (1996b). ”Matematikktakk 2B”. Det Norske Samlaget.
Fosse, Trude og Sælensminde, Anne Kari (1996c). ”Matematikktakk”, Lærarrettleiing. Det Norske Samlaget.
Gjerdrum, Anne-Lise og Skovdahl, Espen (1997a). ”Tusen Millioner”, Grunnbok 2A. J. W. Cappelens Forlag A.S.
Gjerdrum, Anne-Lise og Skovdahl, Espen (1997b). ”Tusen Millioner”, Grunnbok 2B. J. W. Cappelens Forlag A.S.
Gjerdrum, Anne-Lise og Skovdahl, Espen (1997c). ”Tusen Millioner”, Lærerens bok. J. W. Cappelens Forlag A.S.
Haanæs, Marianne og Dahle, Anne Bruun (1997a). ”Pluss”, Grunnbok 2A. NKS-Forlaget.
Haanæs, Marianne og Dahle, Anne Bruun (1997b). ”Pluss”, Grunnbok 2B. NKS-Forlaget.
Haanæs, Marianne og Dahle, Anne Bruun (1997c). ”Pluss”, Idébok for læreren. NKS-Forlaget.
Myrmo, Erling, Rustad, Jostein og Tverås, Ingeborg (1997a). ”Delta”, grunnbok 2A. Gyldendal Norsk Forlag ASA.
Myrmo, Erling, Rustad, Jostein og Tverås, Ingeborg (1997b). ”Delta”, grunnbok 2B. Gyldendal Norsk Forlag ASA.
Myrmo, Erling, Rustad, Jostein og Tverås, Ingeborg (1997c). ”Delta”, Idebok. Gyldendal Norsk Forlag ASA.

Noter

1 Viser til følgende sitat fra Matematikktakk: «Hvert siffer (0–10) har et slikt dobbeltoppslag i bok 2a.», (Fosse og Sælensminde, 1996c: 23).
2 Senere har vi fått regelen om å subtrahere et symbol med lavere verdi når det står foran et symbol med høyere verdi, (Ellingsrud og Strømme, 1999).
3 Det er boken som er beregnet som elevenes grunnbok, og boken som er beregnet for læreren, jeg har sett på. Selv om disse fra verk til verk har ulike navn, velger jeg for oversiktens skyld å kalle dem elevens bok og lærerens bok.