Tangenten Nummer
Olga Herbjørnsen
All bygge- og konstruksjonslek
går ut på å sette sammen linjestykker til flater, og flater
til romlige figurer, og å sammenligne, måle og beregne lengder,
arealer og volumer. Dette gjør både barn og voksne intuitivt i
mangfoldige praktiske situasjoner nesten hver dag. Menneskenes aller første
boliger, redskaper, kjørler, tekstiler og annet var laget ut fra ubevisste
forestillinger om slike begreper, og egen kropp ble brukt som mål for
antall og dimensjoner (Herbjørnsen 1998).
I denne artikkelen vil jeg beskrive og drøfte to eksempler på tredimensjonalt
arbeid der hensikten fra skolens side ikke var utforsking av geometriske forhold,
men derimot å skaffe tilveie selve produktet for å bruke det. Dersom
prosjekter av denne typen bare blir enkeltstående episoder, vil underholdningsverdien
kunne bli større enn læringseffekten. Greier vi derimot å
trekke linjer mellom skolegeometrien og det praktiske arbeidet, kan produktet
kanskje bli bedre neste gang, og den faglige innsikten vil øke. Praktisk
tredimensjonalt arbeid forutsetter forståelse for, og bruk av, linjestykker
og flater. Slik er det også i skolegeometrien, den tredimensjonale geometrien
studeres ut fra kunnskap om en- og todimensjonal geometri.
Jeg vil trekke noen linjer til før- og etterarbeid i klassen og til klassetrinn
over og under dem som beskrives. Det vil vanligvis være ønskelig
å trekke inn flere faglige emner i sammenheng med valgt tema. Dette kan
være delemner fra andre fag, men det kan også være slik at
arbeid innenfor ett matematisk felt medfører behov for annen matematisk
kunnskap. Ikke minst kommer den ureflekterte hverdagsmatematikken til anvendelse
i praktiske situasjoner. Det blir lærerens ansvar å hjelpe elevene
til å oppdage at den er der.
Gjennom hele barnetrinnet markerer L-97 at emnet ’Rom og form’ skal
omfatte tredimensjonalt arbeid. Det er ofte nyttig å trekke ut et delemne
fra planen og sette sammen bitene fra alle klassetrinn, altså lese planen
’på langs’. Noen korte utdrag gir et godt bilde av dette:
1. klasse:
– gjennom lek og varierte aktiviteter arbeide og eksperimentere med og
lage forskjellige former, figurer og mønstre
– arbeide med firkanter, trekanter og sirkler og med terninger, kuler
og andre figurer
2. klasse:
– bruke mål til å sammenligne forskjellige lengder og arealer
og uttrykke størrelsene med enheter som de gjerne selv kan være
med på å bestemme.
3. klasse:
– sammenligne lengder og avstander og etter hvert uttrykke dette ved hjelp
av standardenheter, bruke målebånd og metermål, lese
av tall på skalaer, anslå lengder og avstander og sammenligne med
resultater av (egen) måling,
– vinne grunnleggende erfaringer med areal og volum, sammenligne forskjellige
arealer og forskjellige volumer og bruke areal- og volumenheter.
4. klasse:
– få videre øvelse i å velge hensiktsmessige måleredskaper
og bruke dem, lese av skalaer,
– bruke kvadratmeter og kvadratcentimeter som arealenheter og arbeide
med å finne arealer
– arbeide med alminnelige volummål, spesielt kubikkdesimeter som
liter, og finne volumer.
For mellomtrinnet
finner vi igjen alle disse temaene; for 5. klasse sies det blant annet
– lage figurer, former og mønstre, og arbeide med å finne
ut av egenskaper ved dem,
– velge og bruke enheter for lengde, areal og volum og trene på
å gjøre anslag om slike størrelser i situasjoner fra dagliglivet.
Vi ser at arbeidsformer,
elevrolle og lærerrolle bestemmes både ut fra det faglige innholdet
og fra de praktiske retningslinjene. Det er nødvendig at alle som arbeider
i skolen, har rammene i læreplanen for seg, vi må ha oversikt over
fagkunnskapen så vel som kravene til arbeidsformer. Tar man planen på
alvor, blir det umulig å forsvare en geometri som bare foregår på
papiret.
Læreplanen sier at elever på alle klassetrinn skal «arbeide
og eksperimentere med former og figurer». Tilsvarende formuleringer finner
vi under delemnene ’Tall og Matematikk i dagliglivet’. Dette oppfatter
jeg som en forståelse av at kunnskapen kan utvikles som en følge
av en forholdsvis fri situasjon der hver elev eller elevgruppe utforsker et
problem på egne premisser. I slike situasjoner kan læringen bli
svært forskjellig for de enkelte elever.
En slik arbeidsform kan virke utfordrende for læreren, det kan være
vanskelig å organisere ulike aktiviteter i elevgruppen samtidig ut fra
samme emne, og det kan være vanskelig å danne seg en oppfatning
av hva det enkelte barn har fått med seg faglig.
Mitt første eksempel dreier seg om nettopp dette. I eksemplet var lærerne
innforstått med at barna skulle skape sin egen arbeidssituasjon og utforske
denne. Hensikten var å videreutvikle tallkunnskap på eget nivå.
Det som skjedde, var at hoveddelen av læringen kom til å dreie seg
om en helt annen del av matematikken.
En gruppe studenter
ville i praksisukene undersøke tallbegrep og regneforståelse hos
noen barn i 3. og 4. klasse. De ville bare observere, ikke undervise, og de
ville at barna skulle bruke tall og regning i en problemløsende situasjon.
De ønsket også å finne ut om barnas arbeidsmåter fulgte
Polyas fire trinn for problemløsing: tolking av problemet, planlegging
av løsningsstrategi, gjennomføring av oppgaven, vurdering av resultatet1.
Elevene ble plassert sammen to og to, og var i følge klasselærer
noenlunde jevnbyrdige faglig.
Studentene ville at barna skulle ha mulighet for å bruke tallområdet
0–200, de trengte derfor et stort antall like konkreter og valgte følgelig
legoklosser. Studentene mente i forkant at de bare ville observere bruken av
tall, noe som sikkert hadde sammenheng med en vanlig oppfatning om at geometri
betyr papirarbeid og ikke hører hjemme i småskolen.
Når de bad barna bygge et hus, var hensikten bare å skape en praktisk
situasjon med muligheter for telling av og regning med et stort antall enheter,
og å bruke sidekanter og sideflater på klossene som måleenheter
for lengde og areal. Oppgavene de hadde planlagt, dreide seg om å finne
antall klosser på hver side, i hele huset osv. Selve byggingen så
studentene bare på som et nødvendig forarbeid. Men det viste seg
at det var å bygge huset som opptok barna mest og gav de største
utfordringene. Dermed endret studentene opplegget underveis og lot husene bli
hovedsaken. En slik snuoperasjon krever både mot og faglig innsikt.
Utfordringene og erfaringene var mange, både teknisk og faglig:
Den planlagte delen av arbeidet, telling og addisjon i området 0–200, fikk mindre plass enn tenkt, men viste tydelig at elevene brukte ulike strategier ut fra egne kunnskaper. Eksempelvis kunne en gruppe bruke ulike strategier avhengig av tallenes størrelse:
Alt i alt høstet
studentene mange erfaringer og gjorde seg mange tanker om hvordan de ville ha
arbeidet i egen klasse med mer tid og mulighet for faglig og pedagogisk sammenheng.
De ble utfordret på mange plan, som alle fikk konsekvenser for konklusjoner
og forslag til videre arbeid. Barna manglet skolering i gruppearbeid. Den ene
kunne starte å bygge uavhengig av den andre. Polyas to første faser,
å bli enige om hva som skulle gjøres og så bestemme seg for
hvordan, manglet fullstendig. De begynte uten klare forestillinger om hva de
ville lage og om hvordan de skulle gjøre det. Men diskusjonene tvang
seg fram underveis, og de dreide seg om byggingen.
Neste eksempel dreier seg om en praktisk situasjon på en aktivitetsdag,
og om mulighetene for integrering mellom (ureflektert) hverdagsmatematikk og
skolematematikk:
«Mattefritt
og kjempegøy» lød en overskrift i en lokalavis en tid tilbake.
Barneskolen i bygda hadde hatt utendørs aktivitetsdag om vinteren. Det
store fotoet som fulgte artikkelen, viste en gjeng elever fra mellomtrinnet
som bygde en lavvo. Journalister har for vane å sette matematikk opp mot
alt de oppfatter som morsomt eller progresssivt i skolen. Denne gangen ble det
gjort et poeng av at dette var «mye morsommere enn matte.»
Noen vil spørre om det ikke er legitimt å ha en ’mattefri’
skoledag. Selvsagt er det det, men vi kommer ingen vei med å bringe matematikken
tilbake til hverdagen hvis vi ikke lar elevene oppleve den som nyttig og morsom
å bruke.
Matematikk i snøhaugen er annerledes enn den som ofte foregår inne
i klasserommet, og det å bygge en lavvo går rett inn i utdragene
fra planen som er gjengitt i innledningen.
Hva som foregikk i klassen før og etter utedagen, vites ikke. Journalisten
hadde kanskje ikke spurt seg for, han var iallfall ikke blitt motsagt. Og det
som er interessant for oss, er det allmenne i situasjonen, vi er mange som har
opplevd at matematikken sjelden får plass på en aktivitetsdag bortsett
fra det å beregne priser.
Å bygge med materialer som foreligger ferdig tilpasset om morgenen sammen
med nødvendig utstyr, skaper en praktisk situasjon som gir erfaring i
samarbeid og i praktisk arbeid. Å lære å følge en forskrift
trenger alle. Elevene brukte sikkert etablert matematisk kunnskap om blant annet
måling uten å tenke over det. De hadde sikkert en hyggelig og morsom
dag, og gledet seg nok over resultatet. Alt dette er nyttige og aktverdige mål
for en enkelt dag.
Men dersom elevene laget sin lavvo uten forberedelser, og det heller ikke ble
arbeidet videre med lavvoen i klasserommet, forsømte læreren en
gyllen anledning til å omsette matematisk tenkning i praktisk handling,
ikke minst fordi handlingene igjen gir grobunn for ny matematisk tenkning.
Dersom klassen hadde laget modeller, studert sideflater, valgt dimensjoner og
materiale og redskaper før de startet byggingen, kunne dagen være
et prosjekt i tråd med L-97. Allerede en enkel drøfting i klassen
på forhånd vil anspore til matematisk tenkning omkring arbeidet.
En rekke praktiske avgjørelser dreier seg om geometriske begreper, om
vurdering, måling og beregninger, om muligheter og konsekvenser av ulike
valg:
– Hva skal lavvoen lages av?
– Hvordan få den til å henge sammen og tåle å
bli brukt?
– Hva slags sideflater? Vil vi at alle sidene skal være like? Hvorfor?
– Og hvor mange sideflater skal den ha?
– Hva er fordelene med å ha færrest mulig sideflater?
– Hva er fordelene med å øke antall sideflater?
– Hvor høy må den være?
– Hvor mange skal det være plass til samtidig?
– Hvor stor må grunnflaten være da?
– Hva hvis vi vil kunne sitte der inne? Kan vi lage benker?
– Skal vi lage modeller på forhånd?
– Er målestokk et aktuelt tema å bringe inn?
Videre arbeid med
teoretiske problemer i klasserommet kan føre så langt vi vil:
– Skal vi lage modeller i etterkant?
– Er målestokk et aktuelt tema å bringe inn senere?
– Kan modellene hentes frem da?
– Hva er det minste antall sider vi må ha på gulvet?
– Hvilken form får lavvoen?
– Hvordan blir gulvet og formen med 4, 5, 6 sider?
– Hvorfor laget samene sine lavvoer med mange sideflater?
– Hvordan forandres formen når vi øker antall sider?
– Hvordan går det hvis antall sideflater går mot uendelig?
Vi
ser muligheter for kobling til samisk kultur i vid forstand. Også i andre
kulturer har pyramider, kjegler og sylindrer blitt brukt i byggverk i tillegg
til hus laget av rektangulære former. Fokus på byggverk kan gi innhold
i geometriske begreper, også til bruk av måleenheter, forståelse
for målestikk osv.
At dette tar tid, er ingen innvending, mitt poeng er nettopp at forståelse
for sammenhenger skaper interesse, og med interesse følger forståelse.
Kanskje kunne grunnlaget
både for lavvobyggingen og legobyggingen vært lagt da elevene bygde
snømenn, snølykter og snøhuler i småskolen?
Med snø og is kan alle geometriske grunnformer utforskes, slik som kule,
terning, prisme, sylinder, pyramide, kjegle (som blir avkortet hvis du bruker
en bøtte). Elevene kan være med på å finne former.
Emballasje i egnet materiale finnes i alle fasonger og størrelser. Det
er fint å starte med enkeltformene, gjerne i stort format. Så kan
en gå systematisk til verks og kanskje bruke mindre former når de
brukes som byggesteiner. Barna i det første eksemplet ville ikke hatt
problemer med å få legoveggene til å henge sammen hvis de
hadde bygget med is frosset i melkekartonger først.
Kanskje kunne en bevisst lærer med kamera samle fotodokumentasjon som
sammen med tegninger og modeller enkelt lar seg hente frem året etter?
Kanskje burde småskoleelevenes aktiviteter på utedagen velges i
tråd med de eldste elevenes slik at det kunne komme i stand fruktbare
samtaler og sammenligninger over klassetrinnene i matpausen på utedagen?
Hva med å sette av tid sist på dagen til studier og gjensidig beundring
av alt alle hadde gjort?
Det er mange likhetstrekk
mellom å bygge et legohus og å bygge en lavvo. Forskjellen mellom
de to eksemplene her ligger først og fremst i situasjonen, som i eksemplet
med legoklossene var svært fri, mens byggingen av lavvoen virket styrt
i utgangspunktet.
Aktivitetene er her knyttet til ulike alderstrinn, men en kan kanskje stille
spørsmål som:
– Hva hvis de to klassetrinnene byttet oppgaver?
– Hvorfor fikk småskoleelevene en åpen oppgave?
– Hvorfor fikk ikke mellomtrinnet det?
– Er det tenkelig at småskolebarna kan bygge en lavvo, og hvilke
tilpasninger måtte gjøres i så fall?
– Er det tenkelig at mellomtrinnets elever kunne få fornuftig og
engasjerende læring med legoklosser som utgangspunkt?
Når vi bringer sammen teori og praktiske situasjoner tvinges vi til å tenke nytt innenfor begge felter. Vi oppdager også at det finnes utallige praktiske aktiviteter der geometriske tenkning ligger i bunnen. Jo kortere vei vi må gå for å finne dem, jo bedre egner de seg som oftest.
Beiteig, T. og
Venheim, R. (1999): Matematikk for lærere 2, Tano Aschehoug.
Herbjørnsen, Olga (1998): Rom, form og tall, Tano Aschehoug.
Redaktørene anbefaler for videre lesing om matematikk og bygge- og konstruksjonslek:
Avdem, M.S. og Ryen,
S.J. (1999): Isslottet. DMMHs publikasjonsserie nr. 3/1999.
Hartz, V., Häggblom, L., Johnsen Høines, M., Kristjánsdóttir,
A. og Wallby, K.: Matematik(k) og undervisning. Matematik, Nämnaren,
Tangenten, MAOL og Flötur.
Grunnskolens avgangsprøve i 2001 hadde flere oppgaver tilknyttet en lavvo!
1
For nærmere beskrivelse av Polyas fire trinn se for eksempel kap. 12.4
i Matematikk for lærere (Breiteig/Venheim 1999).