Et par elever klarte ikke å finne riktig svar. Begge ble bedt om å prøve å tegne noe til hjelp, og det hjalp for den ene av dem. Hun tenkte seg om ei lita stund og foreslo fjorten, som hun skrev som ’41’ før hun korrigerte seg selv og skrev ’14’. Deretter ba jeg henne lage noe på et papir. Da tegnet hun tre rektangler og skrev ’TYGEGUMI’ i det ene. Jeg gjentok oppgaven, og nå tegnet hun seks biter. Til slutt telte hun bitene tre ganger og satte et tellestrek i bitene etter hvert som hun telte.
Denne jenta regnet først i hodet. Da hadde hun en oppfatning av oppgaven som i stor grad la vekt på tallstørrelsene som inngikk. Så lagde hun en tegning som viste et bestemt aspekt ved oppgaven: De tre pakkene. Da var hun mer bevisst på at det her handlet om tyggegummipakker, noe som var en utvidet tolkning av oppgaven. Da oppgaven ble gjentatt, lagde hun en ny tegning som inkluderte det andre aspektet, de seks bitene. Sammen med tellestrekene hadde hun da en oppfatning av oppgaven og en uttrykksform som gjorde henne i stand til å besvare den riktig.
Alle lærere vet at det er stor variasjon mellom elever på småskoletrinnet når de blir bedt om å løse slike problemer. I intervjuene jeg gjorde gjaldt det både framgangsmåter og måter å uttrykke seg på. Det som i tillegg er viktig å legge merke til, er at elevene selv brukte varierte framgangsmåter i arbeidet med denne ene oppgaven. Deler av beregningen kunne skje ved at de brukte kunnskap fra andre situasjoner, mens andre deler ble gjort ved å telle på fingrene. Og elevene uttrykte seg på ulike måter i arbeidet med denne ene oppgaven. Deler av oppgaven kunne bli løst med formelle tallsymboler enten i hodet eller på papir, mens andre deler ble løst ved å holde opp fingre eller tegne streker.
Det å bedrive matematikk er uomtvistelig knyttet både til språk, uttrykksformer og redskaper. Hvis man har tre baller i en hatt, kan man uttrykke antallsaspektet på ulike måter: muntlig og skriftlig, som ’3’, ’tre’, ’three’ eller ved å tegne m m m, ved å holde opp tre fingre eller finne fram tre kronestykker. Speiling på et papir kan gjøres ved å brette arket eller ved konstruksjon med passer og blyant. Med ulike redskaper og ulike uttrykksmåter blir det ulike aktiviteter, og elevenes erfaringer blir forskjellige. På den måten vil ulike uttrykksmåter gi ulikt læringsutbytte for elevene. Det kan på en slik bakgrunn hevdes at all kunnskap, all kompetanse, som vi mennesker besitter, er knyttet til språk, uttrykksformer og redskaper (Vygotsky, 2001). All tenkning og all form for kommunikasjon skjer ved hjelp av ulike uttrykksformer innen språksystem, som tale og skriftlige tegn.
Dette har vært kommentert blant andre av Høines (1998). Hun framhever at barns tenkning omkring matematiske objekter er i betydelig grad påvirket av måten objektene uttrykkes på. Hun deler uttrykkene inn i språk av 1. og 2. orden, hvor førsteordens språk er det som er nært og kjent for den enkelte, mens andreordens språk er fremmed. Da er det nødvendig å oversette uttrykket til et som er av første orden. Hun gir i boka mange eksempler på hvordan elever er nødt til å oversette i arbeid med matematikk, for eksempel fra formelle tallsymboler til fingre. Hun illustrerer videre denne forskjellen ved å sammenligne med det å lære et fremmedspråk som fransk. Da er det i begynnelsen nødvendig å oversette de franske ordene til norsk. Vi tenker på norsk og oversetter til fransk når vi kommuniserer.
Imidlertid viser arbeidet med tyggegummioppgaven i figur 1 at elevers forhold til matematiske uttrykk i mange tilfeller vil være adskillig mer dynamisk og skiftende enn det som Høines sin modell illustrerer. For eksempel trenger ikke en uttrykksform være enten kjent eller ukjent, men det vil heller kunne være grader av ukjenthet. Det gjelder både tallsymboler, enten skriftlig eller muntlig, fingre og tegninger og diagrammer. Graden av ukjenthet vil naturligvis variere mellom elever, men den vil i tillegg kunne variere for den enkelte elev, for eksempel med oppgavenes struktur og om de omhandler noe eleven kjenner godt eller ikke. Om ikke det er nok, vil graden av ukjenthet variere med tallstørrelsene som inngår. En elev i andre klasse skulle løse oppgaven 10+12. Hun telte først opp alle fingrene for å lage den første tieren. Deretter telte hun til tolv ved å telle alle fingrene en gang til, lukke nevene og så holde opp og telle to fingre. Hun klarte imidlertid ikke å summere ti og tolv fordi den første tieren var ’borte’. Derfor telte hun opp til ti en gang til. Da satt hun med alle ti fingrene i været, men klarte heller ikke nå å finne svaret fordi nå var tolveren ’borte’. Hun var kanskje vant til å løse addisjonsoppgaver ved å først telle opp den ene addenden på den ene hånda, den andre addenden på den andre og så telle alle for å finne summen. Den framgangsmåten kunne hun ikke bruke her. Skulle hun telle på fingrene, ville det være nødvendig å bruke dem på en annen måte. Her er fingrene på mange måter et språk av første orden, men for å løse denne oppgaven, må de brukes på en for henne ny og annerledes måte. Dermed kan de også sies å være et uttrykk av andre orden fordi tallstørrelsene var større enn hun var vant til.
En elev løste tyggegummioppgaven ved å først legge sammen 6+6 for å få 12, og deretter telte hun på fingrene. Det var lett å se fordi hun satt med hendene over bordet og beveget fingrene mens hun telte. Da jeg ba henne fortelle meg hva hun hadde gjort, sa hun at hun visste at seks pluss seks var tolv, og så sa hun at hun hadde telt: «13 er en, 14 er to, 15 er tre, 16 er fire, 17 er fem og 18 er seks.» Hun brukte altså fingrene mens hun løste oppgaven, men gikk over til å bruke tallord da hun rapporterte til meg etterpå. For henne var tallordene gode å tenke med så lenge tallene var nokså små, altså av første orden. Det hjalp henne til enkelt å finne ut hva 6+6 var. Men når tallene ble større, ’oversatte’ hun og brukte fingrene i stedet. Da hun hadde løst oppgaven én gang (med fingrene), kunne hun bruke tallsymboler for å løse den en gang til. Tallsymbolene brukte hun på to forskjellige måter: Først for å hente fram faktakunnskap (at 6+6 er 12) deretter som dobbelttelling. Fingrene brukte hun på én måte: Til å representere den siste pakken med tyggegummibiter som hun så kunne telle en for en.
Dette illustrerer de to hovedpoengene med denne artikkelen: For det første henger elevers oppfatning og bruk av tall sammen med måten tallstørrelsene uttrykkes på. For det andre vil deres bruk og forståelse av disse uttrykksmåtene variere, til og med mens de løser en enkelt oppgave. Det er nå en betydelig mengde undersøkelser som støtter dette, både at uttrykksformer spiller en betydelig rolle i bruk og læring av matematikk, og at elever har et skiftende og dynamisk forhold til de ulike uttrykksformene (se for eksempel Cobb, Yackel & McClain, 2000). Dette får konsekvenser for matematikkundervisningen. Det å akseptere at uttrykksmåter spiller en betydelig rolle for elevenes kompetanse bryter med det tradisjonelle synet på matematikk hvor det hevdes at matematikk er et abstrakt fag og at uttrykksformer og redskaper entydig avspeiler de samme underliggende, abstrakte idéene. Tradisjonelt er det hevdet at det er disse abstrakte idéene som er essensielle og at uttrykksformene og redskapene spiller en sekundær rolle. Det å brette et papir er et middel for å nå det målet at elevene danner en forståelse av speiling som er uavhengig av den spesifikke aktiviteten og de brukte hjelpemidlene. Et annet eksempel er at man i matematikkundervisningen ofte bruker spesielle hjelpemidler som ikke brukes andre steder enn i skolen. Dette er hjelpemidler som abakus, multilink-klosser, spikerbrett, spesielle plastbrikker (polydron-sett) og egne læreprogram på PC som geometriprogrammet Cabri. Siden de ikke brukes utenfor skolen, er hensikten med opplæringen ikke å lære å bruke disse redskapene i seg selv, men å stimulere elevenes konstruksjon av abstrakte matematiske begreper. Så er tanken at elevene blir i stand til å bruke disse begrepene i andre sammenhenger med andre redskaper og uttrykksformer.
Det er imidlertid en rekke studier som viser at det er problematisk å overføre kunnskap fra en situasjon og uttrykksform til en annen. En banebrytende studie fra 1985 (Carraher, Carraher & Schliemann) viser hvordan gatebarn i Brasil besvarer de samme matematiske utfordringene fundamentalt forskjellig om de får dem på gata eller i klasserommet. Tenkning synes på den måten å være betinget av omgivelsene og situasjonen tenkningen skjer i. Dette innebærer at man i undervisningen bør etterstrebe å skape situasjoner som er så lik tilværelsen utenfor klasserommet som mulig. Spesielt betyr det at de hjelpemidlene og uttrykksformene elevene får arbeide med, i størst mulig grad bør være de samme som blir brukt ellers i samfunnet.
Det andre aspektet innebærer at elevene får arbeide med redskaper og uttrykksmåter som er fleksible nok til å ivareta den variasjonen som arbeidet krever og at undervisningen legger opp til variert bruk. Det å bruke fingre kan gjøres på et uttall måter. Undervisningen bør derfor veksle mellom det å vektlegge spesielle styrker med fingrene (som det at de er svært godt egnet til å illustrere gruppering i 5) og det å stimulere til variert bruk av fingre mens man regner.
Det samme gjelder det å skrive og tegne på papir. Undervisningen bør dels introdusere elevene i det vi synes er lure måter å bruke det på, og dels legge opp til at de selv skal utforske og finne fram til egne metoder. Imidlertid er matematikkundervisningen ofte basert på lærebøker som i liten grad legger opp til at elevene selv får pønske ut måter å løse og skrive oppgaver på. Som regel er sidene fullstendig dekket med bilder og tekst fra forlaget, med kun noen få steder hvor elevene kan skrive. Det de da skal skrive, er i svært stor grad bestemt av læreboka. På den måten stimulerer lærebøkene elevene i liten grad til varierte framgangs- og uttrykksmåter. Elevene bruker gjerne i tillegg ei kladdebok, noe som gir dem mulighet for å uttrykke seg friere. Men jeg har sett lærere bruke kladdeboka som innføringsbok, og det er derfor strenge regler for hva elevene har lov til å skrive der: Kun pent oppstilte regnestykker, med passende marg og avstand mellom hvert stykke. Det er viktig at elevene blir flinke til å formidle arbeidet sitt, med svar og framgangsmåter, på en ryddig og forståelig måte. Men det er vel så viktig at elevene utvikler gode strategier for å løse matematiske problemer, så kanskje elevene bør ha to bøker, ei til å kladde i og ei for å formidle resultatene.
Denne
eleven har tegnet inn de tre ekornungene og fordelt nøtt for nøtt.
Dette er en svært konkret bruk av de 14 ringene som alt var tegnet inn.
Da han fikk flere like oppgaver, fortsatte eleven å bruke denne måten
å tegne på, men han forenklet tegningene stadig mer. Han brukte
for eksempel kun sirkler for å angi hodene uten å tegne inn øyne
og munn. Det viser at eleven beveget seg mot er mer diagramaktig framstilling.
Elever
som løste oppgaven ved å lage slike grupper gjorde det på
to forskjellige måter. Noen løste oppgaven først i hodet
før de tegnet grupper á fire. Andre lagde først grupper
med to eller tre nøtter i hver, for eksempel ved å trekke streker
mellom dem. Deretter så de at det var en god del nøtter til overs,
slik at de kunne utvide gruppene med én eller to ved å forlenge
strekene.