Hvordan fremme barns matematikkforståelse?

Kan matematikkundervisningen gjøres mer spennende og variert om vi legger bort den trykte læreboka?
Etter 20 år som matematikklærer i grunnskolen, fikk jeg gradvis en fornemmelse av at mange elever hadde liten forståelse for hva de egentlig gjorde når de regnet. Jeg hadde en følelse av at en god del elever var ’tallskrivere’. Det var om å gjøre å få rett tall på rett sted. Selve regneoperasjonene var de mindre opptatte av. Når elevene nådde mellomtrinnet, mistet noen på en måte grepet. Ved tekstoppgaver fikk jeg ofte spørsmål som: «Lærer, er dette pluss eller minus, gange eller dele?»
Jeg syntes at elevene i mye større grad enn i andre fag, falt av lasset. Den trykte læreboka bandt elevene og meg på en måte som kanskje stengte for forståelse og matematikkreativitet. Dette fikk meg til å fundere på om matematikkundervisningen kunne legges opp på en annen måte, en måte som gjorde at elevene fikk bedre innsikt og større tro på egne krefter.
Det første jeg gjorde var å lese planverket nøye. Dette var mens M-87 fremdeles var i bruk. Det forunderlige var å se at planene i stor grad synes å mene at matematikken var et praktisk fag. Det må nok innrømmes at min tidligere gjennomlesning av matematikkplanene muligens ikke hadde vært grundig nok. Jeg hadde inntil da tenkt at elevene hadde jo læreboka. Den var godkjent etter M-87 og holdt sikkert til mitt bruk. Men nå fikk jeg en ubehagelig følelse av at det var aspekter ved matematikkundervisningen som var fart over med en ’harelabb’.
Hva nå? Hvordan skulle jeg forholde meg til dette? Jeg snakket med spesiallæreren på skolen vår. Hva kunne gjøres for å gi elevene bedre matematikkforståelse? Hun svarte: «Kan du få til en bedre matematikkundervisning uten å bruke den trykte læreboka?» Dette var en ny og spennende tanke. Jeg reflekterte videre. Kanskje det kunne være en god ide; å bruke planverket, ikke læreboka, når matematikkundervisningen ble planlagt?
I 1994 begynte jeg igjen med første klasse. Jeg hadde bestemt meg for at tallinnlæringen skulle foregå uten engangsboka.
Etter hvert som jeg høstet erfaring med å løsrive meg fra læreboka, så jeg hvilke muligheter og utfordringer dette ga. Ja, det var en god ide å legge vekk boka. Jeg skynder meg å tilføye at løsningen ikke ligger i å trykke opp mange kopier. Min erfaring er at elevene ikke trenger mer enn maksimum 5 kopier i løpet av et halvår. Disse kopiene skal inneholde flere aspekter ved faget enn selve regneoperasjonene. Elevenes matematikkbok i ’min’ klasse er nå en kladdebok med rutenett.
Siden vi nå jobber etter L-97, er det denne planen jeg heretter viser til. På side 158 i L-97 er de felles målene for faget listet opp. Disse prøver jeg stadig å ha i bakhodet. Der står det at matematikkfaget har mange aspekter, her er noen:
• elevene skal få et positivt forhold til matematikk,
• de skal få selvfølelse og tillit til egne muligheter i faget,
• matematikk skal være et redskapsfag,
• elevene skal stimuleres til å bruke sin fantasi,
• de skal finne løsningsmetoder og alternativer gjennom undersøkende og problemløsende aktiviteter.

Ikke alle aspektene ble godt nok ivaretatt med trykt matematikkbok, og etter hvert så jeg at fire punkter var viktige om faget skulle endres og være mer i tråd med L-97. Det som krevdes var:
1. Økt bruk av konkreter.
2. Oppgaver uten fasitsvar.
3. Snakk matematikk.
4. Hverdagsmatematikk.

Dette ble mine, ikke særlig sofistikerte, huskeregler. Alle opplegg, alle timer burde inneholde minst tre av disse elementene. L-97 og mine 4 punkter er utgangspunktet når timene planlegges. I min L-97 er det skrevet en rekke notater under planene for hvert klassetrinn. Jeg har hatt en ’brainstorming’ med meg selv og tenkt på hvordan enkelte deler av planen kan gjennomføres.
Jeg prøver å legge opp til en tverrfaglig undervisning med faste tema. Men det må innrømmes at jo høyere opp klassen kommer, dess vanskeligere synes vi det er å få til en god sammenheng i undervisningen. Uker med prosjektarbeid og storyline gjør at vi til en viss grad synes vi får ivaretatt dette på mellomtrinnet. Det er viktig at matematikken ikke blir tatt vekk fra disse timene, men blir en naturlig del av nye undervisningsformer.
Her er noen eksempler på hvordan jeg arbeider med matematikk. Dette er ideer og eksempler som alle lærere som har undervist i matematikk, vil kjenne igjen. De viser ikke en ny og helt annerledes metodikk, men hjelper til å ivareta andre aspekter enn de rent regnefaglige.
I planen for 2. klasse står det: «I opplæringen skal elevene […] arbeide med addisjon og subtraksjon og med å uttrykke dette muntlig og skriftlig.» ( L-97 s. 159).
La oss si at vi arbeider med mengden 8. Til hjelp har hver elev 8 konkreter. En oppgave kan være å dele konkretene i to mengder. Spørsmål som da kan stilles er: «Vil noen vise regnestykket sitt fram? Vil noen skrive regnestykket sitt på tavla?» Elevene vil da komme med mange løsninger. Noen vil ha løsningen 7+1=8, andre vil sitte med 6+2=8, andre med 5+3=8 o.s.v. Neste spørsmål kan være; «Hvor mange løsninger kan du finne på denne oppgaven?» Med utgangspunkt i konkreter kan elevene også diskutere den kommutative loven: «Er 7+1=8 det samme som 1+7=8?»
Elevene jobber mye og nøye med konkreter før de skriver noe i kladdebøkene sine. Kan 8 deles i flere grupper? Hva kan et regnestykke som gir summen 8 da bli? En elev svarer kanskje: 4+1+1+1+1=8. Her blir det mange løsninger om elevene bruker fra åtte til to ledd i sine addisjonsstykker. Alle elevene får komme med minst en løsning hver. De skal sitte igjen med følelsen av at dette er noe de mestrer, og at vi andre ser det.
Mens elevene fremdeles har konkretene, kan de skrive alle løsningene i kladdebøkene sine. Elever med god matematikkforståelse kan etter hvert få oppgaven. «Bruk hvilke tall du vil i regnestykket ditt, men svaret skal bli 8. Du kan lage addisjons- eller subtraksjonsoppgaver.» Om høsten i 2. klasse vil de komme med oppgavetyper som: 1008–1000=8, 16–8=8, 5+5–2=8, 100–92=8. Dette er løsninger som en god del av elevene gir. Slike løsninger ga elevene ikke før. De fikk rett og slett ikke utfordringen.
Oppgaver som er for vanskelige for flesteparten elevene i klassen, finnes det få av i den trykte læreboka. Men mange 8-åringer mestrer oppgaver som er mye mer krevende, og de ønsker å prøve seg på dem. Mye matematikkreativitet er gått tapt, fordi flinke elever ikke er blitt utfordret på oppgaver som det ikke forventes de skal mestre før to eller tre trinn høyere opp. Når elevene ikke har en trykt lærebok, kan disse få utfordringer i hver eneste time. I 3. klasse jobber vi med addisjonsstykker med tierovergang. Noen elever forstår raskt innholdet av denne algoritmen. Figur 1 viser et addisjonsstykke en elev i 3. klasse laget da utfordringen var: «Lag de vanskeligste addisjonsstykker med minnetall som du klarer.»

Figur 1

Begrepet tekstoppgaver definerer jeg som et regnestykke som innholder tekst, tall og en matematisk problemstilling.
Seinere kan da spørsmålet være: «Lag en tekstoppgave som gir svaret 8.» Da vil elevene på dette nivået gi oppgaver som: «Jeg spiste 5 bananer og Tommy spiste 3 bananer. Hvor mange bananer spiste vi til sammen?» «Jeg hadde 9 kroner i lomma, så mista jeg en. Hvor mange hadde jeg igjen?» (I min klasse er det spesielt populært å lage oppgaver med bananer og penger). Dette gjør vi nå bare muntlig, men mot slutten av 2. klasse, skriver elevene sine egne stykker. Figur 2 viser et eksempel på en tekstoppgave skrevet av en elev i 2. klasse.

Figur 2

Oppgaver der elevene måtte tolke en tekst, kunne tidligere være et ’ork’ å gjennomgå. Ofte var det som om elevene ikke fikk tak i hva det hele dreide seg om. De skjønte rett og slett ikke spørsmålsstillingene.
Nå lager elevene helt fra 1. klasse, tekstoppgaver for hverandre. De skriver tekstoppgavene sine selv fra slutten av 2. klasse. Noen av disse oppgavene kopierer jeg over på lysark, slik at alle får se de andre elevenes orginalarbeid. I tillegg samler jeg inn alle arbeidene og skriver dem på datamaskin. Da tar oppgavene mindre plass enn om kopier av orginalarbeidene brukes. Elevene løser så hverandres tekstoppgaver. Jeg mener at når elevene må lage tekstene selv, blir de bedre til å tolke slike oppgaver.
Etter hvert får elevene klare bestillinger. Bestillingen kan være: «Skriv tekstoppgaver der løsningen krever subtraksjon med veksling i området 100 til 1000.» I 6. klasse skal elevene «– vinne erfaringer med myntenheter, kurs og omregning mellom norsk og utenlandsk mynt.» Da blir bestillingen å lage tekstoppgaver innen dette emnet.
Figur 3 viser en av oppgavene som ble levert da oppgaven var: «Lag addisjons- og subtraksjonsoppgaver med ensbenevnte brøker.»
Det er enkelt å be elevene om å lage tekstoppgaver innen et emne vi holder på med. I vår hadde klassen storyline om vikingene. Da laget de oppgaver fra vikingtida. Ikke overraskende handlet mange oppgavene om vikinger som døde i slag. Når kopien med elevenes tekster deles ut, er elevene opptatte av å finne oppgavene de selv har laget. De har nå ønsket at det på kopien skrives navnet på den som har laget tekstoppgaven. Dette tolker jeg som at matematikken faktisk er med på å bygge opp et positivt selvbilde. De synes at de mestrer matematikk og er stolte av sitt produkt.

Figur 3

I klassen bruker vi mye tid på muntlig fremstilling av matematikkoppgaver. Lag f.eks. en tekstoppgave med disse tallene: 304, 722, 1298, eller 42:7=6. Vi snakker mer matematikk enn før. Elevene får komme med sine ideer og innfall. I stedet for å gi dem algoritmer og lange forklaringer på tavla, blir spørsmålet: «Hvordan kan vi løse dette? Vet noen hvordan vi kan regne ut 45×12?»
Det blir gitt halve matematikkoppgaver som: «Kari er 17 år. Liv er 9 år. Petter er 11. Kan dere komme med noen spørsmålsstillinger?»
Elevene får spørsmål som: «Har noen sett et regnestykke på veien til skolen i dag?» Da vet elevene at jeg spør om noen har sett en situasjon som de kan lage et regnestykke av. Da kommer de med eksempler som: «Først syklet det 3 elever fordi meg. Så syklet det 5 elever forbi meg. Til slutt syklet det en klynge på 9 elever forbi meg. Hvor mange elever syklet det til sammen forbi meg på skoleveien i dag?» Etter hvert spør elevene om regnestykket må være sant. Må de virkelig ha sett regnestykket sitt? Da har jeg hittil svart at det må inneholde et element av sannhet. De fleste elevene i klassen passerer posthuset på skoleveien. Mange kommer med regnestykker som derfor inneholder ran på postkontoret. De boltrer seg i høye pengesummer, skumle tyver og politi med ulende sirener.
«Kan du tegne en tegning som gir deg ideen til regnestykket?» er en annen oppgave. Jeg definerer begrepet regnestykke svært vidt. Et regnestykke skal inneholde tall og minst en regneoperasjon. I figur 4 vises en tegning som en elev i 1.klasse brukte som utgangspunkt for et regnestykke.

Figur 4

Det at vi ikke har lærebok, gjør at det også er enklere å bruke nærmiljøet i matematikkundervisningen. Er emnet trafikk, går vi ut og teller biler som passerer skolen i løpet av en time. Vi lager statistikker og regnestykker med materialet fra vår enkle trafikktelling. Hvor mange biler passerer skolen i løpet av en time? Vi telte fra kl. 9.30 til kl. 10.00. Tror du det er flere eller færre biler som passerer skolen fra kl. 8.00 til kl. 8.30? Hva er begrunnelsen for svaret du gir?
Eksempler på andre regneoppgaver i vårt nærmiljø:
«Hvor mange kvadratmeter er skolegården vår?» «Hvor høy tror du ballveggen vår er?» «Hvor mange meter er det tvers over skoleskogen? Hva er differensen mellom det du målte og det du gjettet?»
«Hvor mye koster en liter melk på Meny? Hvor mye koster en liter melk på Rimi? Hvor stor er prisforskjellen? Hvorfor har butikkene ulike priser?»
«Hvor ofte går bussen inn til byen. Hvilken buss må du ta når du har time hos tannlegen kl. 10.00?» Det matematiske nærmiljøet har åpnet seg etter at læreboka ble lagt bort.
Da jeg la bort læreboka, var en reaksjon fra flere lærere: «At du tør!» Jeg visste imidlertid at mange elever hadde svært dårlig matematikkforståelse der lærebøker ble brukt. Boka er ikke noe «sesam, sesam» som gjør at alle elevene blir gode i matematikk. Det er mye som påvirker læringen i faget. Den største utfordringen ved ikke å ha bok er nok at læreren må være svært systematisk, både når det gjelder å holde oversikt over stoffet og elevenes nivå. Noe som for øvrig også er viktig ved bruk av bok.
Hvordan har det så gått med elevene i den første klassen i mitt ’eksperiment’? Siden klassen ikke brukte lærebok i matematikk, var jeg interessert i å få vite hvordan det gikk med ’mine’ bokløse elever på ungdomsskolen. Nå er jeg fullstendig klar over at en klasse, statistisk sett, er et altfor spinkelt materiale til å bevise noe som helst. Men det kunne være interessant å se om en tendens kunne spores. Jeg spurte om å få ungdomskolens jule- og sommerkarakter til de 18 elevene jeg hadde hatt i småskolen. Det viste seg at ingen av disse elevene i 8. klasse hadde fått karakterene 0, 1 eller 2. Det var fire 6-ere. Muligens kan dette vise at matematikkforståelsen var bedre enn for gjennomsnittet?
En ’bokløs’ klasse krever en stor grad av struktur. Det er brukt mye tid på å gjøre elevene selvgående. «Hva skal jeg gjøre når jeg er ferdig?» er et spørsmål som sjelden forekommer. Elevene har alltid nok å arbeide med. Det krever helt klart at læreren er systematisk og har god oversikt. Han bør ha innsikt i hvilket matematikknivå en kan forvente på de ulike klassetrinn. Før man våger å gjennomføre undervisning uten matmatikkboka, kan det nok være lurt å ha noe erfaring med klasser som bruker boka. Man må også være svært nøye med informasjon til foreldrene. De må få vite hvordan læreren tenker, og hvilke emner som skal gjennomgåes.

Om man tar sats og kaster seg ut i matematikkundervisning uten lærebok, kan jeg love at læreren får et mer spennende matematikkliv!