3/2002
Matematikeren Marchall H. Stone holdt det indledende foredrag ved Royamount-seminaret i 1959 og affyrede dermed startskuddet til indførelse af den ny matematik. Stone fremhævede, at matematik og maternatikundervisning udgør fundamentet for det teknologiske samfund der er under opbygning. Seminaret fulgte imidlertid ikke op på disse nyttebetragtninger. I stedet koncentrerede man sig om den strukturelle matematik, der tilsyneladende kunne disponere matematikundervisningen på alle niveauer på en ensartet måde. Den generelle opfattelse var, at nok var det udmærket at fremhæve matematikkens nytteværdi, specielt af hensyn til de bevilgende myndigheder, men nytteværdien var uden særlig interesse for matematikere og for matematikundervisere. Stone~argumentet kom i hvert tilfælde ikke til udtryk i det efterfølgende reformarbejde.
I dag er der ikke mange, der betvivler, at matematik indgår som et afgørende element i samfundets fundamentale teknologiske strukturer: økonomiske, organisatoriske, militære, videnskabelige, osv. Men Stones teknologioptimisme er afløst af en anden og mere skeptisk holdning til teknologi. Dette har konsekvenser for matematikundervisningen og for uddannelsen af lærere i matematik på alle niveauer.
Den »klassiske« modeldiskussion har været formuleret som om matematik først og fremmest (om ikke ene og alene) har en beskrivende funktion. Diskussionen har derpå koncentreret sig om at undersøge, i hvor høj grad en matematisk model repræsenterer virkeligheden. Men matematiske modeller er ikke blot beskrivende. De er også agerende. Med matematikkens formaterende funktion har jeg henvist til, at handlinger og beslutninger udføres på grundlag af matematik, og dermed konstituerer matematik en del af vores teknologibaserede hverdag.1 Eksempler herpå er utallige.
Flyselskabers overbooking har været diskuteret grundigt.2 Statistikken viser, at der er passagerer med pladsreservation, der ikke møder op. Hvor meget der kan overbookes afhænger naturligvis af tidspunkt på dagen og af rute. Men også det kan statistikken kaste lys over. At overbooke kan naturligvis fortolkes som en nærmest uhæderlig salgsstrategi, men også som et konstruktivt forsøg på at holde priserne så langt nede som muligt. Hovedprincippet er at prøve at undgå at flyve med tomme sæder. Udgifterne til en flyvning er stort set uafhængige af antal passagerer. Der er således ikke den store forskel i forbrug af brændstof, lønudgifter mv., og besparelserne i passagerservice er til at overse.
Problemer opstår naturligvis, hvis alle passagerer med pladsreservation (på trods af statistikken) møder frem til en bestemt afgang. Så får flyselskabet et forklaringsproblem:
»Der har desværre været et mindre problem med computeren.« Desuden må der ydes en kompensation til passagererne: »Er der nogen, der ønsker at vente til næste afgang mod en passende kompensation?« Kompensationens størrelse kan naturligvis også inddrages i den matematiske model, der styrer bookingstrategien. Jo større kompensation, des større sikkerhedsmargin må man arbejde med. Således synes det ikke at være en god ide at overbooke kraftigt på den sidste aftenafgang, idet en kompensation da kunne komme til at inkludere hoteludgifter.
Alle hensyn kan sammenkobles i en model, og beslutningen om, hvor mange passagerer der kan bookes på hver afgang, automatiseres. Der er ikke tale om, at den matematiske model bruges til at beskrive en billetkø. Den matematiske model er med til at designe en kø. Matematikken får en formaterende funktion.
En bookingmodel udgør kun en lille del af det kompleks af matematiske modeller, der er knyttet til den række af beslutninger der skal tages i forbindelse med luftfart. Og luftfart udgør kun en lille del af transportsektoren, der igen kun udgør et enkelt element af samfundets økonomiske, organisatoriske, militære og videnskabelige strukturer. Men alle steder kan man observere fænomenet: beslutninger tages på grundlag af matematiske modeller.3 Matematik indgår i teknologiske designprocesser af enhver art.
Hvis man skal løse et problem, fx knyttet til drift af en flyselskab, så kan matematik tilbyde sin assistance til at undersøge hypotetiske situationer. Man behøver naturligvis ikke at prøve sig frem med alle mulige prismodeller. Man kan eksperimentere på grundlag af matematiske modeller. De kan benyttes til simulation. Ved hjælp af matematik kan et sæt af mulige handlingsalternativer blive tilgængelige for nærmere analyser. At etablere hypotetiske situationer og give en detaljeret indsigt i disse, udgør en væsentlig egenskab ved matematisk modellering. I Ud over matematikken har jeg således karakteriseret matematik som de hypotetiske situationers stålkonstruktioner.
Det er afgørende at træffe et valg mellem alternativer. Hvilket teknologisk design skal man vælge? Naturligvis kan man ikke forvente, at det realiserede alternativ fungerer som det matematisk definerede alternativ. Den realiserede bookingmodel kan således have en række konsekvenser, der ikke er taget højde for i den matematiske undersøgelse af visse hypotetiske situationer. Nogle problemer kan måske løses gennem en pragmatisk modifikation af reservationsmodellen, men i andre tilfælde kan det være vanskeligt at ændre fundamentalt på matematisk baserede designvalg. Man kan tænke på beslutninger om vejføringer, brobygning, osv. Man kan også tænke på beslutninger der angår den økonomiske politik eller militære initiativer.
Gennem matematik er vi i stand til at forestille os nye teknologiske handlemuligheder. Vi kan tale om, at samfundet råder over en teknologisk fantasi. Begrebet sociologisk fantasi, der er diskuteret godt og grundigt i sociologien, henviser til den kompetence at kunne forestille sig, at en given politisk-samfundsmæssig situation kunne være anderledes.4 Teknologisk fantasi henviser til det rum af alternativer, vi ved bl.a. matematikkens hjælp er i stand til at operere med. Den teknologiske fantasi sprudler i øjeblikket. Den er fremtidsskabende. Og matematik udgør et grundlag herfor.
En teknologisk fantasi følges af en rutinisering. Når således en bookingmodel er implementeret, fastlægges en række arbejdsprocesser som rutiner. Den matematiske formatering cementeres.
Det er værd at indføje en lille bemærkning om selve begrebet »matematik«. I takt med at matematikkens arbejdsområder udvikles i alle retninger, så undergår selve begrebet matematik en ændring. Matematik er ikke nogen sammenhængende og ensartet størrelse. Ludwig Wittgenstein har understreget, at det er omsonst at forsøge at definere sprog gennem en fælles egenskab.5 »Sprog« refererer til en mangfoldighed af fænomener på samme måde som »leg« og »spil«. Man kan blot søge familieligheder mellem forskellige former for sprog.
Det samme gør sig gældende for matematik, der henviser til en række vidt forskellige fænomener og aktiviteter: Kontrol af byttepenge, opgaver i en skolebog, ingeniørmatematik, økonomiske overslag, opløsning af tal i primfaktorer, et skøn over hvilken rute der skal vælges til feriestedet i Sydfrankrig. Og samtidig henviser matematik til alle de retninger matematikforskningen bevæger sig i. Specielt har diskussionen om etnomatematik vist at »matematik« er et eksplosivt begreb.6 I det foregående har jeg først og fremmest refereret til »ingeniørmatematik«, men andre former for matematik kan også udøve formaterende funktioner. Men, på trods af eksplosiviteten, fortsætter jeg i det følgende med at tale om »matematik«.
Som nævnt eksisterer der en afgørende forskel på situationen i 1959 og i dag. Stone kunne henvise til at matematik og maternatikundervisning udgør et fundament for opbygningen af det teknologiske samfund, og samtidig kunne han trygt læne sig op ad den antagelse, at denne opbygning udgør et absolut gode. Teknologisk fremskridt, videnskabeligt fremskridt og fremskridt i det hele taget blev opfattet som stort set identiske størrelser.
Ifølge mange sociologer er moderniteten afløst af det post-moderne, det sen-moderne, eller det refleksivt moderne. Manuel Castell har skrevet et storværk om vor teknologiske samtid. Han taler om netværkssamfundet, men andre betegnelser har været benyttet: det post-industrielle samfund, informationssamfundet, vidensamfundet og risikosamfundet.7 Selv om man langt fra er enig om, hvor vi er på vej hen, så er man dog delvist enig om, hvad man er på vej fra, nemlig moderniteten. Dette inkluderer samtidig, at vi er på vej bort fra modernitetens grundlæggende antagelse (der også var Stones antagelse): eksistensen af en entydig sammenhæng mellem videnskabelige, teknologiske og samfundsmæssige fremskridt.
Denne harmoniantagelse er taget af dagsordenen. I stedet argumenteres der for, at naturvidenskabelighed og matematik er tvetydige i deres samfundsmæssige funktioner.8 De kan føre os frem til nye fascinerende muligheder, de kan også afstedkomme kriser, om ikke teknologiske katastrofer. Tjernobyl i 1986 symboliserer, at harmoniantagelsen ikke er gyldig længere. Situationens kompleksitet er sammenfattet af Melvin Kranzberg: »Technology is neither good, nor bad, nor is it neutral.«9
Dette angår i højeste grad også matematik. For selv om matematik udgør et grundelement i den teknologiske fantasi, så er det en rationalitet der ikke ubetinget leder til opstilling af kvalificerede alternativer. Matematik kan opstille hypotetiske situationer, og vi kan komme til at forstå detaljer af disse situation. Man kan også benytte matematik i grundlag for at vælge mellem alternativer. Men man kan ikke analysere sig frem til konsekvenserne af et realiseret alternativ.
Det konceptuelle forlæg og det realiserede resultat kan adskille sig fra hinanden på afgørende punkter. (Den planlagte brokonstruktion og selve broen kan f.eks. afvige med hensyn til stabilitet under ekstreme vindforhold.) Det betyder at vi ikke har mulighed for på en nuanceret måde at identificere konsekvenserne af vore teknologiske valg. Dette er grundlaget for fremkomsten af risikosamfundet. Mange af de risici, vi åbenbart må lære at leve sammen med, opstår i gabet mellem, på den ene side, indsigt i formelle beskrivelser af mulige alternativer, og så det realiserede alternativs måde at operere på.
Teknologi og dermed også matematisk formatering er nu er placeret i grænselandet mellem godt og ondt. Efter moderniteten følger usikkerheden, for der er ingen fremtid i at fornægte teknologi. Vi kan ikke være foruden den teknologiske fantasi og heller ikke mange af de rutiner den kan skabe. Men uanset kvaliteten af den teknologiske fantasi, og uanset kvaliteterne af de matematiske analyser der ligger til grund for fantasien, så kan et realiseret teknologisk alternativ bringe os i en ulykkelig situation.
Denne usikkerhed har jeg prøvet at beskrive ved hjælp af begrebet aporia, der er græsk og henviser til at være i en situation, hvor der ikke foreligger nogen retningsanvisning eller nogen løsningsmodel. Situationen er i bund og grund præget af usikkerhed. Teknologi skaber udvikling, men intet grundlag for en »selvevaluering«. I hvert tilfælde kan en sådan ikke defineres med henvisning til modernitetens harmoniantagelse. Dermed befinder vi os i en aporetisk situation. Om vi skal karakterisere denne situation som postmoderne, eller benytte en anden af sociologiens farverige labels, er jeg ikke klar over. For mig er det afgørende imidlertid, at videnskabelig rationalitet og teknologisk kreativitet, bl.a. således som de opererer gennem matematisk formatering, gøres til genstand for en kritisk diskussion.
Matematikken er i høj grad blevet jordisk. Og den må underkastes de samme betingelser for kritik, som alle mulige andre samfundsmæssige aktiviteter. Den teknologiske fantasi er en problematisk fantasi. Men stadig en nødvendig fantasi.
Dette har naturligvis implikationer for den måde hvorpå man må tænke om naturvidenskabelige uddannelser, også matematikundervisning. Fra folkeskole til universitet. Usikkerheden om den teknologiske udvikling rejser en fordring til enhver læreruddannelse (folkeskole, gymnasium, seminarium, handelsskole, teknisk skole, universitet, m.v.), hvor matematik indgår. Det bliver afgørende at etablere grundlag for en refleksion over matematikkens rolle i alle dens mange sociale og teknologiske iklædninger. Der er tale om en etisk fordring, der udspringer af aporiens væsen.
Matematik skaber fremtid, det er sikkert nok. Men hvilken fremtid? Spørgsmålet kan naturligvis ikke besvares. Dette er den grundlæggende udfordring til enhver matematikundervisning. Vi må derfor finde frem til en didaktisk tankegang, der ikke har harmoniantagelsen som indbygget forudsætning. Stones retorik kan ikke genbruges. Udfordringen er at søge en matematikundervisning der ikke blot udgør en indføring i den matematiske tankeverden, men som samtidig danner grundlag for refleksioner over den rolle matematikken spiller og kan spille som element i en teknologisk fantasi.« Vi kan ikke undvære den teknologiske fantasi, og denne fantasi kan ikke undvære matematikken. Men denne fantasi kan føre i alle retninger.