2/2002
Den 5. august i år var det 200 år siden Niels Henrik Abel ble født. Jubileet har vært markert på mange måter, blant annet gjennom utgivelse av to frimerker 5. juni og en 20-kroners minnemynt 5. august. Frimerkedesigner Sverre Morken og myntdesigner Ingrid Austlid Rise har begge benyttet lemniskaten som grafisk element. Men hva er egentlig en lemniskate og hva har den med Abel å gjøre?
Allerede de gamle grekerne hadde funnet fram til lemniskaten. Mange vil kjenne til at sirkelen, ellipsen, parabelen og hyperbelen fremkommer som randen av snittflater når vi snitter en kjegle med et plan. Mindre kjent er det at Perseus (ca. 150 f.Kr) så på hvilke figurer som fremkommer når man snitter en torus. Torusen har form som en smultring og kan lages ved å rotere en sirkel om en akse utenfor, men i samme plan som sirkelen. Vi kan kalle Perseus’ snitt for torussnitt eller smultringsnitt (snittplanene må være parallelle med rotasjonsaksen). Et av snittene har form som et åttetall, se figuren rett over. Velger vi en smultring der hullet er akkurat like bredt som smultringdeigen (det vil si en torus der avstanden fra rotasjonsaksen til sirkelsentrum er lik diameteren på sirkelen) er åttetallsfiguren en lemniskate.
Neste gang lemniskaten behandles i litteraturen er mot slutten av 1600-tallet da astronomen Giovanni Cassini utarbeidet sin egen teori for hvordan planetene beveger seg rundt solen. I motsetning til det som var hevdet av Johannes Kepler i 1609 mente Cassini at planetene ikke beveget seg i ellipseformede baner med solen i det ene brennpunktet. En ellipse har som kjent to brennpunkter A og B, og alle punkt P på ellipsen har den egenskapen at summen av avstandene fra P til brennpunktene er konstant, altså PA + PB = konstant. Cassini innførte en ny type ’ellipse’ eller oval som tilfredstilte et annet krav, nemlig at produktet av avstandene fra ethvert punkt P til brennpunktene skal være konstant, PA·PB=konstant. For noen valg av konstanten ligner figurene ellipser. Det finnes imidlertid et annet interessant valg. Hvis avstanden mellom brennpunktene kalles 2a og konstanten settes lik a2, altså PA·PB=a2, ser figuren ut som et liggende åttetall.
Noen år senere, i 1694, publiserte Jacob Bernoulli en artikkel om en kurve med form som tallet 8, eller en knute eller krumningen på en sløyfe. Han ga figuren navnet lemniscus, det latinske ordet for en sløyfe. Herfra kommer navnet lemniskate som vi idag bruker. Likningen for lemniskaten er i polarkoordinater ren 1800 flyttet han og kona Anne Marie Simonsen dit. I desember 1800 fikk de sitt første barn som ble døpt Hans Mathias etter sin farfar. Barn nummer to kom til verden 5. august 1802 og fikk navnet Niels Henrik etter sin morfar. Allerede to år senere flyttet familien til Gjerstad ved Risør der Søren Georg Abel overtok sogneprestembedet etter sin far. Her vokste Niels Henrik opp til han høsten 1815 ble sendt til Christiania for å gå på katedralskolen. De første skoleårene viste han ingen spesiell interesse for matematikk, men da han fikk ny matematikklærer i januar 1818 skjedde det en endring. Under veiledning av sin nye lærer Bernt Michael Holmboe begynte han snart å lese matematikk som gikk langt utover det som var pensum på såvel katedralskolen som universitetet. Allerede i skoledagene begynte han å tumle med et gammelt problem: hvordan løse den generelle femtegradslikningen (se også omslaget på dete bladet)? Løsningen på problemet kom han frem til vinteren 1823/24 da han viste at det faktisk ikke er mulig å finne en løsningsmetode for den generelle femtegradslikningen ved hjelp av de klassiske regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og rotutdragning. Da han i 1821 begynte ved Det Kongelige Frederiks Universitet i Christiania kunne han antakelig mer matematikk enn noen annen i Norge. Det ble derfor viktig å få til en utenlandsreise slik at han kunne treffe andre matematikere. Sommeren 1823 fikk han privat understøttelse for å reise til København og møte danske matematikere. Utenom Carl Ferdinand Degen var det ingen av matematikerne som imponerte. Det gjorde derimot den to år yngre Christine Kemp som han traff på et ball. Året etter kom hun som guvernante til Son i Norge, og de to forlovet seg julen 1824.
Høsten 1825 fikk Abel endelig midler til en lengre utenlandsreise. Meningen var at han skulle reise til Göttingen og besøke den store Gauss og deretter videre til Paris som på den tiden var matematikkens hovedstad. Abel reiste imidlertid sammen med noen studiekamerater, og for å slippe å reise alene ble han med dem til Berlin. Det ble det store lykketreffet i Abels korte liv. I Berlin traff han ingeniøren August Leopold Crelle som i møte med Abel fikk inspirasjon og mot til å starte Journal für die reine und angewandte Mathematik, senere kjent som Crelles Journal. Her fikk Abel publisert de fleste av sine matematiske arbeider. Den artikkelen han selv anså som sin beste valgte han imidlertid å spare til han kom til Paris for å levere den til det ærverdige franske Akademiet. En publisering her ville bli lagt merke til. Den 30. oktober 1826 leverte han sitt hovedverk, Mémoire sur une proprieté générale d’une classe très étendue de fonctions transcendantes – senere kjent som Paris-avhandlingen – til Akademiet.
Verket ble imidlertid lagt til side og glemt – Abel hørte aldri noe fra Akademiet. Etter et par måneders venting i Paris dro han igjen til Berlin og videre til Norge.
Tiden etter hjemkomsten ble tøff for Abel. I Norge oppfattet mange reisen som en skuffelse; han hadde ikke oppsøkt Gauss, han hadde ikke fått publisert noe i Paris – og hvilken prestisje ga egentlig dette nye tidsskriftet i Berlin? Han stod uten jobb og stipend og måtte livnære seg ved å gi privatundervisning og ved å ta opp lån. Våren 1828 bedret situasjonen seg da han ble vikar for professor Christopher Hansteen mens han var på sin ekspedisjon til Sibir. Etter høstsemesteret 1828 dro Abel til Frolands Verk ved Arendal for å feire jul sammen med Christine som nå var guvernante for barna til verkseier Sivert Smith. Under et juleball begynte Abel å hoste blod. Et 12 ukers sykeleie skulle vise seg å bli et dødsleie. Niels Henrik Abel døde 6. april 1829 og ble gravlagt en uke senere på Froland kirkegård.
Men tilbake til Paris høsten 1826. Mens Abel ventet på svar fra Akademiet arbeidet han med en artikkel som senere ble publisert i Crelles journal, Recherches sur les fonctions elliptiques. Her behandler han blant annet problemet med å dele lemniskatebuen i n like store deler ved hjelp av passer og linjal. I et brev til Holmboe nevner han
en stor Memoire over les fonctions elliptiques hvori forekommer mange snurrige Ting; som jeg smigrer mig ved vil piquere En og anden. Iblandt andet om Deelning af Lemniscat-Buer. Du skal see hvor det er pænt. – Jeg har fundet at man kan deele ved Hjælp af Lineal og Passer Lemniscaten i 2n + 1 Dele naar dette Tal er et Primtal. Deelningen afhænger af en Ligning hvis Grad er (2n + 1)2 – 1. Men jeg har fundet dens fuldstændige Løsning ved Qvadratrodtegn. Jeg er ved samme Anledning kommen efter den Mysterie som har hvilet over Gauss Theorie af Cirkelens Deelning. Jeg seer klart som Dagen hvorlunde han har faaet det. –Dette som jeg her omtaler om Lemniscaten er en af de Frugter jeg har havt af mine Bestræbelser for Ligningernes Theorie.
Abel hadde vist at lemniskatebuer kunne deles i n like store deler med passer og linjal nettopp for de samme verdiene som Gauss hadde funnet for sirkelen, nemlig for n = 2m·p1·p2·…·pk, hvor p-ene er forskjellige Fermat-primtall.
Lemniskaten er en av tre illustrasjoner i Abels publiserte arbeider. Den egner seg godt som grafisk element samtidig som den på en fin måte knytter sammen to av Abels arbeidsområder: elliptiske funksjoner og likningsteori. I boken Mathematics and its history (Springer 2002) gir John Stillwell en karakteristikk av Abels lemniskateresultat:
This wonderful result serves, perhaps better than any other, to underline the unifying role of elliptic functions in geometry, algebra and number theory.
Som en avslutning vender vi tilbake til 20-kroningen som ble utgitt 5. august. Foruten lemniskaten i Abels hånd er illustrasjonene hentet fra en av Abels kladdebøker. Midt på mynten ser vi en vertikal rad med blekkflekker. Den nest nederste av flekkene er imidlertid ikke eksakt slik den fremstår i Abels kladdebok. Blekkflekken er endret slik at den på mynten har samme form som Finnøy! En gest til Niels Henrik Abel – og kanskje til sentralbanksjef Svein Gjedrem som også er fra Finnøy.