Ragnar Solvang – en foregangsmann i norsk skolematematikk

Ragnar Solvang har gjennom et langt liv vært lærer, lærebokforfatter og lærerutdanner i matematikk. Vi kan trygt kalle ham en nestor i norsk matematikkdidaktikk. I fjor fylte han 70 år, og han er nå pensjonist. Men han er fremdeles faglig aktiv og engasjert. Tangenten har stilt ham noen spørsmål om hans liv og hans forhold til matematikken.

– Vi tenker på deg som matematiker, men du har utdanning i flere fag?

– Ja, jeg har fysikk og kjemi i tillegg. Da jeg begynte å studere, var det vanskelig å få jobb i skolen. Derfor valgte jeg en sterk fagkrets. En tid overveide jeg faktisk å ta fysikk som hovedfag, så godt likte jeg det. Det skyldtes ikke minst de professorene og lektorene jeg hadde. Jeg tenker særlig på Otto Øgrim, som skapte en kolossalt interessant forbindelse mellom matematikk og fysikk.

– Men det endte med matematikk. Hvorfor?

– Jeg hadde vært veldig interessert i matematikk helt siden jeg gikk i realskolen. På Blindern kom jeg inn i et matematikkmiljø. En av mine eldre medstudenter satte i gang med noe som ble kalt Matematisk seminar. Der var det studentene som foreleste, med professorene til stede. Da jeg hadde studert i bare to år, ble jeg bedt om å legge fram Abels måte å løse en spesiell integrallikning på. Det var en kraftig utfordring for en så ung student. Jeg gikk løs på den med liv og lyst, og kjemistudiene ble skjøvet i bakgrunnen. Dermed kom jeg inn i det matematiske miljøet. Der var det alltid noen man kunne gå og spørre og diskutere med. Like etter gikk jeg på noen forelesninger hos Viggo Brun. Det var en fascinerende forestilling. Han kom blant annet inn på iterasjoner av funksjoner, som senere ble tema for hovedfagsoppgaven min.

– Du skrev om iterasjoner av funksjoner av komplekse tall. Det kan jo lyde ganske avansert! Etterpå ble du lærer, og da underviste du i faget på det mange vil kalle et lavere nivå. Var det en nedtur?

– Nei, det var ikke det. Men dette har to sider. For det første har jeg alltid synes at det er morsomt å snakke matematikk. Og det ble det mye av i realskoleklassene som jeg underviste det første året. Om det for eksempel var kvadratsetningene, så var det interessant å snakke med elever om dem. Det var slett ikke noen nedtur. Samtidig må jeg si at jeg gjerne skulle ha fortsatt studiene mine et år til. På slutten av hovedfagsstudiet hadde jeg fått en idé som viste seg å være fruktbar. Denne ønsket jeg å arbeide videre med, men jeg hadde ikke råd til å studere lengre. Jeg fortsatte imidlertid å arbeide med denne idéen etter hovedfaget, og hadde gleden av å se noen resultater som for meg var nye. Noen få år senere ble jeg timelærer på Matematisk institutt, da de store studentkullene kom til Blindern. Dermed var jeg så heldig at jeg fikk undervise både i skolen og på universitetet.

– Men du har ikke bare vært lærer?

– Nei, på begynnelsen av 1960-tallet var jeg skolesekretær i Norsk Lektorlag. Jeg var da med på å skrive de to store bøkene Gymnaset i søkelyset. Men etter fire år orket jeg ikke mer kontorarbeid, så jeg gikk tilbake til skolen. Jeg fortsatte likevel med faglig-pedagogisk arbeid på sentralstyrenivå i de seks etterfølgende årene, så jeg brukte mye tid på organisasjonsarbeid i en tiårsperiode.

– Og deretter ble det lærerutdanning?

– I 1971 ble jeg spurt om jeg ville begynne på Pedagogisk Seminar. På den tiden fikk seminaret et voldsom løft, og det ble ansatt mye folk. Etter min oppfatning fikk vi gode arbeidsforhold, og jeg syns jeg fikk gjort en god del. Så da det gikk mot slutten av 1970-tallet og jeg hadde "snudd bunken" noen ganger, begynte jeg å tenke på å skrive ut en del av stoffet. Det var jo noe studentene like gjerne kunne lese som at jeg skulle fortelle om det. Slik begynte den delen av skribentvirksomheten.

– Det er noen som har regnet ut at du har vært forfatter eller medforfatter til anslagsvis 10 000 boksider! Hvordan er det mulig?

– Ikke vet jeg. Jeg har arbeidet med lærebøker i 30–40 år, og der er det jo blitt en god del serier. Og så har det vært flere revisjoner, med den reduserte arbeidsbyrden som ligger i det. Det er visstnok Norsk faglitterær forfatterforening som har funnet det tallet, og ikke vet jeg hvordan de leter opp sånt.

– Mye av det du har skrevet, er gjort som gruppearbeid. Du har deltatt i en forfattergruppe. Er det problematisk å skrive sammen med andre og bryne seg på andres synspunkter?

– Jeg må si at jeg foretrekker å skrive sammen med flere. Ta for eksempel den første matematikkdidaktikkboka, den skrev jeg sammen med Stieg Mellin-Olsen. De diskusjonene vi hadde underveis, de var så interessante og satte så mange spor oppe i hodet mitt, at de ville jeg ikke ha vært foruten. Da vi senere skulle revidere, endte det med at vi skrev hver vår bok. Det hadde sammenheng med at manusbunken nå hadde sprengt alle rammer for én bok. Det ble naturlig at Stieg konsentrerte seg om grunnskolen og jeg om ungdomsskolen og den videregående skolen. Samtidig hadde vi nok også utviklet oss i litt forskjellige retninger. Men likevel leste vi hverandres manuskripter og fortsatte på den måten samarbeidet.

– Du nevner Stieg. Det er neppe galt å si at det er han og du som til nå har satt sterkest preg på norsk matematikkdidaktikk. Dere kjente hverandre lenge og drøftet mye. Hva har dere betydd for hverandre?

– Jeg var jo tidlig klar over at Stieg var en internasjonal størrelse. Han har satt spor etter seg i den matematikkdidaktiske litteraturen. Særlig knyttes navnet hans til instrumentalismebegrepet. Men også andre ting, som boka The Politics of Mathematics Education, blir veldig ofte sitert. Det som var så beundringsverdig hos Stieg, var at han alltid var underveis. Han kunne gladelig si: «De standpunkter du arresterer meg for nå, de hadde jeg for tre år siden. Du kan ikke vente at jeg skal forsvare dem i dag.» Den som slik står åpent og ærlig fram, det er et menneske jeg beundrer! Jeg vet ikke hvor mye jeg har betydd for ham, men han har betydd kolossalt mye for meg. Det er en del mennesker man er glad for å ha truffet personlig. I tillegg til Stieg, kan jeg for min del for eksempel nevne matematikerne Viggo Brun, Ralph Tambs Lyche og Thoralf Skolem.

– Du sa at Stieg var underveis og kunne skifte standpunkt. Du har selv vært gjennom en del reformer og «motebølger» innenfor skolematematikken. Blant annet var du involvert i den moderne matematikken. Hvordan opplevde du det den gangen, og hvordan ser du på det nå?

– Den gangen de første ideene kom fra USA, så rørte den amerikanske debatten ved noe som jeg selv hadde opplevd i skoleverket, men aldri hadde kunnet sette navn på. Til det kunne jeg for lite matematikkdidaktikk på 1950-tallet. Da dette rullet fram, var det på veldig bred front og ble sett på som en slags «frelse» innenfor matematikken. Selv Stieg, som senere ble svært skeptisk til moderne matematikk, skrev en bok om strukturert matematikk. Han var en av de aller første her i landet som beveget seg inn i Piaget-teori, og argumenterte for hvor gunstig det kunne være å undervise mer strukturert. Og det var nettopp dette som skjedde på slutten av 1950- og begynnelsen av 1960-tallet: En gruppe amerikanske pedagoger og psykologer anbefalte at man burde legge mer vekt på den strukturelle siden ved matematikken og mindre på terping av regler. Dette var fascinerende på alle måter. Når vi prøvde det ut i skolestua, fikk vi hele veien inntrykk av at det var vellykket. Det kunne jo komme av at vi som gjorde dette, var entusiastiske lærere som la sjela vår i det. Men vi ble oppildnet av en positiv holdning fra foreldre og elever. Og i de revisjonene vi så gjorde utover på 1960-tallet, er det helt klart at vi gikk for langt. På slutten av 1960-tallet ble dette tydelig for oss, og vi begynte å stikke hodene sammen for å finne ut hvordan vi kunne endre på opplegget. Men tidlig på 1970-tallet kom det store avisoppslag som slo det hele over ende.

– Ja, det kom jo en kraftig motreaksjon den gangen, Back to basics. Vil du si at den moderne matematikken dermed døde, eller har dette forsøket og denne bølgen satt spor etter seg?

– Jeg mener at den har satt tydelige spor etter seg, faktisk mer enn motreaksjonen. Det er mitt inntrykk at når man skal øve inn tallbegrepet i barneskolen, så tyr man stadig til det vi i sin tid kalte et naivt mengdebegrep. Men for å ta eksempler som jeg kjenner bedre: Da jeg underviste i realskolen på 1950-tallet, så fantes det ikke et eneste ord i lærebøkene om funksjoner. Nå har dette lenge vært pensum i ungdomsskolen. I våre dager tegner elevene rette linjer i koordinatsystemet, men den gangen fantes det ikke noe koordinatsystem i pensum og slett ikke noe funksjonsbegrep. Det var med den moderne matematikken at dette kom inn. Det samme gjelder sannsynlighet og vektorer.

– Et par andre bølger som har skyllet gjennom skolematematikken i din tid, syns jeg også at vi kan berøre. En av dem gjelder bruksorienteringen, nytteaspektet. I våre dager er det mange som sterkt understreker at matematikken og eksamensoppgavene skal være hverdagsnære. Vi benytter matematiske modeller. Dette har du også vært med på. Du var en av forfatterne til læreboka Matematikk og samfunn for 1. klasse i videregående skole. Den satte spor etter seg i denne retningen.

– Ja, det er riktig. Helt siden jeg studerte fysikk, har jeg vært opptatt av matematiske modeller. Men jeg har aldri vært av den oppfatning at all matematikk skal være hverdagsnær og praktisk. Det er å gi et galt bilde av matematikken. I Matematikk og samfunn innledet vi hvert kapittel med et praktisk eksempel som viste at det var grunnlag for å matematisere noe. Det praktiske utgangspunktet ledet til matematikk, og etterpå kunne vi da studere selve matematikken. Dette viser jo også hvordan mye matematikk er blitt til opp gjennom historien. – Skal vi for eksempel studere økonomiske forhold eller befolkningsutvikling, så benytter vi gjerne modeller med kontinuerlige funksjoner. Skal vi ha nytte av dette, må vi beherske det matematiske begrepsapparatet. Den deriverte er ikke i seg selv noen praktisk sak, men den har mange praktiske anvendelser. Som lærer fortalte jeg noen ganger klassene om primtallstvillinger, og at ingen ennå har funnet ut om det er endelig eller uendelig mange av dem. Dette var ikke hverdagsnært, men elevene syntes det var gøy.

– Den tredje bølgen jeg vil nevne, er problemløsing, som særlig kom på 1980-tallet. Dette er en tilnærming til matematikken som vel du som person har stor sans for?

– Ja, jeg har alltid vært problemorientert. Det å tukle med et problem, å se det fra alle bauger og kanter, og så kanskje få det til en vakker dag, det syns jeg er ordentlig festlig. Men når dette kom inn i skolen, så var det vel fordi man trodde at det kunne være en motiverende vei for mange elever. Jeg tror imidlertid at flere av lærebøkene gjorde den feil at de lagde alt for mange forskjelligartede problemer. Hvert problem ble en totalt ny opplevelse. Det skal det god matematikkerfaring til for å takle. På midten av 1990-tallet innledet jeg og noen kolleger ved vårt institutt et samarbeid med matematikere fra et tsjekkisk universitet. Vi utarbeidet sett med oppgaver som hang sammen. Hvis en elev fikk til én oppgave, så var det store sjanser for å få til den neste også. Det krevde stor gjennomtenkning av problemrekkefølgen. Vår erfaring var imidlertid at det fungerte fint i klassene.

– Et annet tema du har arbeidet mye med, er hvordan vi i matematikkundervisningen skal forholde oss til det faktum at elever er ulike: differensieringsproblematikk og tilpasset opplæring.

– Slik jeg har opplevd det, var det ofte så store forskjeller mellom beste og dårligste elev at det egentlig var umulig å undervise klassen samlet. Jeg drev en del gruppearbeid innenfor klassens ramme, hvor elevene arbeidet med problemer de kunne få til. Men jeg drømte om at man en gang skulle kunne gjøre dette mye mer systematisk. Jeg har senere holdt mange kurs om differensiering. Og i den læreboka jeg skrev i matematikkdidaktikk, tok jeg nettopp opp mer strukturert differensiering. Sigmund Ongstad hadde en fin definisjon, nemlig at differensiering er en bevisst forskjellsbehandling til beste for hver enkelt elev.

– Nå er du pensjonist. Men du har ikke lagt inn årene på det matematiske feltet. Vi som kjenner deg, vet at du har interessert deg sterkt for matematikkens kulturelle og historiske sider, ikke minst disse siste årene. Kan du fortelle litt om det bokprosjektet du holder på med nå?

– Det er et prosjekt som faktisk begynte allerede på 1960-tallet. Da jeg reiste rundt og holdt kurs i moderne matematikk, var det mange som spurte meg hva forskjellige ord i den «nye» matematikken betydde. Noen ganger kunne jeg svare, andre ganger ikke. Når jeg ikke kunne svare, tok jeg problemet med meg hjem og forsøkte å finne ut av det. Etter hvert ble det ganske mye av dette, og jeg begynte å spare på det. Og da jeg avsluttet min tid på universitetet som seniorforsker under Norges Forskningsråd, begynte jeg å skrive på det. Det dreier seg altså om etymologien og historien bak matematikkterminologien. Dette er nå i ferd med å bli en ordbok på rundt regnet tusen matematiske begreper. Den er hovedsakelig rettet inn mot skoleverket, men har også med litt fra den elementære universitetsmatematikken.

– Hva er det egentlig du skriver om?

– Jeg forsøker å finne ut hva de matematiske ordene betyr og hvor de opprinnelig kommer fra. Vi må skille mellom to typer ord. Noen av dem er blitt til gjennom en lang utviklingsprosess, og det står ikke noe bestemt menneske bak. Et eksempel på dette er rett og slett ordet matematikk. Utgangspunktet er det greske ordet mathema, med flertallsformen mathemata. Dette betyr vitenskap eller kunnskap. Sakte utviklet det seg videre til mathematika, som er blitt til vårt ord matematikk. Hvem sto bak dette? Det er umulig å si. På den annen side har vi ord som vi vet presist hvem som laget. Eksempelvis har vi ordet gruppe. Selv om vi ikke vet hvorfor akkurat dette ordet ble valgt, så vet vi at det ble innført av Galois. Selve gruppebegrepet lå implisitt i de arbeidene som Abel skrev i likningsteori. Men det var Galois som satte navn på begrepet.

– Har du eksempler på ord som det er vanskelig å finne etymologien til?

– Ja, vi kan ta et vanlig ord som hundre. Det har en eiendommelig etymologi, som jeg slett ikke er ferdig med å finne ut av. Vi vet at stavelsen hund kommer fra gotisk en gang etter år 300. På 800-tallet ble det laget et gotisk alfabet av en prest som oversatte Bibelen til gotisk. Gjennom denne oversettelsen har vi fått et innblikk i goternes tallsystem. På gotisk blir 10 kalt taihun, og 100 heter taihun-taihund, det vil si ti tiere. Ordet taihun kommer kanskje fra det greske dekem, som betyr 10. Men hvordan dette utvikler seg videre til vårt hundre, er ganske innfløkt. Det første hundre som ble laget, betydde ikke 100 men 120. Slike alternative hundre-begreper kan vi se spor av i flere språk: storhundre på Island, Grosshundert i Tyskland og hundredweight i England.

– Nå blir det vanskelig å holde oversikten!

– Nettopp. Dersom noen av leserne har kunnskaper om dette, håper jeg at de tar kontakt.

– Da passer det i alle fall å anbefale leserne å kjøpe boka når den kommer ut! Takk for intervjuet.