Hvad har det med undervisning at gøre? 1) Undervisningen kan indeholde en introduktion til et demokratisk liv i samfundet. 2) Fordeling af viden og uddannelsesmuligheder; uddannelsessystemet må give lige muligheder for eleverne. 3) Demokrati i undervisningen henviser til livet i skolen, klasseværelset. Måden at lære demokratiske værdier er ved at deltage i et demokrati. 4) Indholdet i undervisningen. Undervisningsstoffet kan indeholde aspekter der er relevante i et demokratisk perspektiv.

Men hvad betyder f.eks. lige muligheder for uddannelse? Elever modtager meget forskellig undervisning i det samme samfund. Er det lighed? Tendenser i mange lande har vist at arbejderklassens børn får mindre ud af undervisningen end andre. Det samme gælder kvinder. Dette skyldes det faktum at skolen reproducerer samfundets strukturer. Kritisk undervisning må modbalancere dette. Undervisningen må udvikle en demokratisk kompetence hos eleverne: en kompetence der sætter eleverne i stand til at genkende og reagere i forhold til social undertrykkelse. Målet med kritisk undervisning er at udvikle eleverne til kritiske borgere i et demokratisk samfund.

Men en del problemer fremtræder i et samfund som vores: Når samfundet udvikler sig, med en organisatorisk kompleksitet som resultat, vil det så blive sværere at opfylde kravene til et kritisk borgerskab? Vil betingelserne og følgerne af beslutningerne taget af regeringen blive skjult og svære at identificere for borgerne? Har den teknologiske udvikling i samfundet har en indflydelse på demokratiet? Vil konsekvensen blive et ekspertokrati? Dette er trusler som må tages seriøst. Et demokrati kan ødelægges på to måder: 1) forhindre formelle demokratiske procedurer, som i et diktatur; 2) fjerne folks mulighed for at deltage og reagere, og dette er faren i et højteknologisk samfund som vores. Hvis afstanden mellem politikere og resten af befolkningen bliver for stor, så bliver det svært at etablere et forhold som kan kaldes demokratisk.

Spørgsmålet er så om matematik har en rolle i dette. Kan vi forestille os at matematisk kompetence (mathemacy) kan have et kritisk potentiale på linje med læsefærdigheder (literacy)? Kan matematisk kompetence bruges i en kritik af samfundsmæssige forhold? Hvis dette er tilfældet, så må matematik påvirke samfundet på en eller anden måde, og 'mathemacy' bliver en nødvendig betingelse for at mennesker kan reagere i forhold til de nuværende sociale strukturer.

Matematikkens formatterende kraft på samfundet
Matematik er traditionelt blevet opfattet som den mest neutrale og uskyldige af alle videnskaber. Men hvis man ser nærmere på matematikken som en af deltagerne i et samspil i en sociologisk udvikling vil man opdage at matematikken indeholder værdier som gennem matematisk modellering ændrer samfundet. Matematikken formatterer samfundet. F.eks. er enhver anvendelse af en computer en brug af en simpel eller kompleks matematisk model. Men for at forstå hvordan matematikken i sig selv kan ændre samfundet må vi se nærmere på to teoretiske begreber:

Tankeabstraktioner: De henviser til en måde at tænke på som bruges til at lette ræsonnementer, f.eks. matematiske begreber og modeller. De eksisterer som mentale modeller i vores hoveder. Vi tænker med dem.

Virkeliggjorte abstraktioner:Disse er tankeabstraktioner ført ud i virkeligheden, dvs. de er virkelige strukturer i samfundet. De er virkeliggjorte abstrakte begreber som påvirker vores liv. Nogle eksempler er bruttonationalproduktet, måder at beregne skat, fordeling af sociale ydelser, valgprocedurer osv.

Med det formelle matematiske sprog og computerteknologi bliver det meget let at tilpasse virkeligheden til vores billede af virkeligheden, dvs. en matematisk model. I modelleringsprocessen fremhæves nogle aspekter, mens andre ignoreres. De virkeliggjorte abstraktioner er blevet en del af virkeligheden og på denne måde er matematik blevet projiceret ind i virkeligheden (som jo ikke indeholder nogen form for matematik før vi ser på den). Matematiske modeller bliver et princip for design og konstruktion af vores verden og på denne måde bliver matematik integreret i samfundet.

For at undgå matematikkens symbolske kraft («tallene må da udtrykke en sandhed») må vi være kritiske. Vi må ikke have en ubetinget tro på matematiske modeller og vi må være kritiske overfor oversættelsen fra tankeabstraktioner til virkeliggjorte abstraktioner. Men hvordan bliver man så kritisk overfor matematisk modellering? Svaret er, at vi må udvikle mathemacy som dækker over 3 former for viden: matematisk viden (de evner vi traditionelt opfatter som matematiske færdigheder), teknologisk viden (evnen til at anvende matematik i en ikke-matematisk kontekst), og reflektiv viden (evnen til at reflektere over anvendelsen af matematisk og teknologisk viden i en bredere kontekst. For at bruge den reflektive viden til at blive opmærksom på matematikkens formatterende kraft må vi vide mere om modelleringsprocessen hvorigennem matematikken udfører denne formattering. Til at starte med har vi en situation eller et problem fra virkeligheden som vi ønsker at vide noget om, en matematisk model bruges typisk i prognoser og forudsigelser. Modelleringsprocessen starter med en identifikation af forudsætninger, antagelser, osv. Parametrene i modellen relateres så i forhold til hinanden, og vi ender op med et antal ligninger. For at gøre disse matematiske overvejelser forståelige for en computer, oversættes de til algoritmer. Fra dette punkt er det bare et spørgsmål om at fodre computeren med de passende data, så vil computeren aflevere et resultat som vi kan fortolke.

I denne modelleringsproces er der flere spørgsmål der kræver en form for reflektion. En første opgave er at tydeliggøre og identificere forudsætningerne. Valget af forudsætningerne for modellen kan have en meget afgørende indflydelse på resultatet af modelleringen, og alligevel holdes disse forudsætninger ofte skjult for offentligheden bag matematikkens facade. For det andet, er det vigtigt at reflektere over oversættelserne mellem de forskellige sprog der indgår i modelleringen. Problemet er beskrevet i et naturligt sprog som oversættes til et formelt sprog som oversættes til det matematiske sprog som oversættes til algoritmer der kan forstås af en computer. Ved hver oversættelse er der fare for at usikkerheder sniger sig ind i modellen. For det tredje, må vi reflektere over modelleringsprocessens sociale kontekst. Løser modellen vores oprindelige problem? Hvorfor har vi brugt modellering? Hvem kan bruge resultatet af modellen?

Alle disse refleksioner må gøres hver gang man har med en matematisk model at gøre for at kunne udpege matematikkens formatterende kraft og reflektiv viden må udvikles for at give begrebet mathemacy et kritisk potentiale på linje med literacy.

Samfundet har udviklet sig til en tilstand hvor kompleksiteten af computerteknologi er enorm. For at deltage som en kritisk demokratisk borger er det nødvendigt at have en matematisk,teknologisk og reflektiv viden (mathemacy) der gør det muligt at se gennem de sociale processer hvori matematik er integreret og brugt. Vi kan opsummere formålet med kritisk matematikundervisning til at:

1. Gøre elever i stand til at indse, forstå, vurdere, benytte anvendelser af matematik i samfundet.
2. Gøre elever i stand til at anvende matematik i samfundet, specielt i situationer som er vigtige for elevernes eget liv.

Kritisk matematikundervisning i praksis
Hvordan gennemfører vi så en matematikundervisning som kan kaldes kritisk? Det er desværre ikke muligt at give et definitivt svar på dette spørgsmål. Forskellige undervisningsprojekter vil indeholde forskellige aspekter som er vigtige dele af en kritisk matematikundervisning. Det er vigtigt at overveje om undervisningen kan udvikle elevernes viden om at matematik ændrer virkeligheden, og om undervisningen udvikler de nødvendige kompetencer til at handle som kritiske borgere. Men hvordan gøres det? Det er vigtigt at give matematikundervisningen en tematisk form. Men hvordan vælges temaet? Hvilke aspekter er nyttige at overveje når temaet vælges? Nogle retningslinjer kan opstilles:

• Emnet skal være velkendt for børnene, eller det skal være muligt at beskrive det i ikke-matematiske termer; et emne fra dagligdagen.
• Det skal være muligt at gå til problemet fra forskellige niveauer, og at udvikle temaet selv om eleverne har forskellige evner.
• Emnet skal have en værdi i sig selv. Det skal ikke bare være en illustrativ introduktion til et matematisk emne.
• Det skal udvikle ideer om brug af matematik eller nye matematiske begreber, og udvikle matematiske evner.

Temaet skal lægge op til en matematisering; dvs. en formulering, systematisering og vurdering om hvordan virkeligheden skal fortolkes i en kompleks situation. En god ide er at sætte barnet i centrum, omgivet af familien som igen er omgivet af samfundet. På denne måde får projektet en eksemplaritet for barnet. Denne tænkning bygger på eksemplaritetsprincippet som siger at det er muligt at forstå større komplekse sammenhænge ved at se på enkeltstående hændelser. Den enkelte situation fremviser generelle strukturer som kan forstås ved at se på det enkelte. Formålet med en sådan tilgang til undervisning er, i modsætning til overførelse af information, at involvere eleverne i undervisningsprocessen og dermed give eleverne muligheder for at forbedre deres egen situation. Dette drejer undervisningen i retning af problemorientering og projektarbejde.

En anden ide er at opstille en scene for en undervisningsproces. Dette henviser til skabelsen af en kunstig situation hvori eleverne kan skabe en mening. Scenen kan skabes på forskellige måder, men det vigtige er, at den giver undervisningsprocessen en mening, og skaber en ramme for refleksioner. Dette gør det lettere for børnene at se formålet med de beregninger de foretager. For at undgå at eleverne udvikler et absolutistisk syn på matematikken og matematikkens anvendelser er det vigtigt at der udvikles et meta-sprog om undervisningsprocessen og indholdet, som eleverne kan bruge til at udtrykke deres meninger om undervisningen, matematikken og matematikkens anvendelser igennem.

En opstilling af en scene kan måske have den konsekvens at det matematiske indhold i projektet bliver væk, både for eleverne og lærerne. For at gøre eleverne opmærksomme på deres brug af matematik, er det derfor vigtigt at et projekt ikke afsluttes før en matematisk arkæologi har fundet sted; dvs. at den anvendte matematik er blevet identificeret og navngivet. For at eleverne kan se hvordan matematikken påvirker deres løsning af et problem må de være i stand til at identificere og udpege matematikken.

Som tidligere nævnt, er mathemacy sammensat af tre forskellige kompetencer: en matematisk, en teknologisk og en reflektiv kompetence. Det er relativt enkelt at forestille sig hvordan matematiske og teknologiske kompetencer kan indføres i undervisningen. Men hvordan er det muligt at udvikle den reflektive kompetence i undervisningen? Her kan vi finde et andet argument for at opstille en scene: den etablerer en kontekst der gør refleksioner relevante. De vejledende principper for matematikundervisningen findes ikke i matematikken men i matematikkens sociale kontekst. Matematikkens rolle i samfundet og mulighederne for at illustrere matematikkens formatterende kraft må tages til overvejelse i undervisningen.

I en given kontekst kan forskellige spørgsmål være med til at udvikle den reflektive viden i en undervisningssituation:

1. Spørgsmål til matematikken: Har vi regnet rigtigt? Har vi fulgt algoritmen præcist? Er der forskellige måder at kontrollere beregningen?
2. Spørgsmål til teknologisk viden: Har vi udført den rigtige beregning? Kan vi vælge mellem algoritmer? Kan vi stole på algoritmen? Har vi brugt en passende algoritme?
3. Spørgsmål til konteksten: Hvis vi har udført beregningen rigtigt og brugt algoritmen konsistent, får vi så et resultat vi kan bruge? (Her er det nødvendigt at have en scene)
4. «Behøver vi matematik?»: Er det passende at bruge en formel teknik? Behøver vi matematik? Kunne vi få lige så gode svar ved at tolke situationerne intuitivt? (formalisme er bare en mulig vej!)
5. Konsekvenser ved at bruge bestemte teknikker til at løse et problem: Hvordan påvirker anvendelsen af en algoritme vores opfattelse af en del af verden? (Matematikkens formatterende kraft)
6. Reflektere over hvordan vi har reflekteret over brugen af matematik.