Oppgavediskursen i matematikk

Rekonstruksjon av en diskurs

Stieg Mellin-Olsen

Diskursbegrepet brukes forskjellig. Her brukes ikke diskurs om argumentasjon eller samtale, men om den måten en snakker på innenfor et saksområde. Litt rundt og upresist skal vi bruke diskurs slik Højrup (1985) gjør det, nemlig som en beskrivelse av den samlete kommunikasjonen i en spesiell institusjon eller en bestemt situasjonstype. Mer presist vil en diskurs her oppfattes som et språklig uttrykk for et tenkesett (Madsen 1973). Diskursen er knyttet til en gruppe med utsagn. I disse utsagnene eksisterer det også en indre struktur eller lovmessighet som utgjør den diskursive formasjonen. Diskursen organiserer virksomheten til mennesket, den gjør enkelte handlemåter mulige mens andre ikke blir det. En studie av læreres språk i forhold til en omfattende diskurs retter oppmerksomheten mot helheten i lærerens praksis mer enn hva studiet av isolerte utsagn gjør. Dette gjelder enten lærerne praktiserer en offisiell diskurs perfekt eller de støtter seg til en så godt de kan samtidig som de mumler et annet språk gjennom munnviken.

Diskursanalysen viser hvordan menneskets praksis, uttrykt gjennom språket, stenges inne av de institusjonelle rammene. Samtidig viser den hvordan mennesket prøver å bryte ut av stengslene ved å avdekke en diskurs inne i diskursen, den såkalte motdiskursen, uttrykt gjennom «the tiny, invisible text that runs between and sometimes collides.» (Foucault 1985, s.28)

Et forsøk på å sirkle inn en diskursiv formasjon som representerer lærertenkning om matematikkundervisning må nødvendigvis være knyttet til den sentrale rollen oppgaveløsingen har i matematikkundervisningen. Læreres vektlegging av oppgaveløsing er ikke bare resultat av deres egne frie valg, den er institusjonalisert.

Matematikkoppgaver har en begynnelse og en slutt. Slutten markeres ofte ved et svar som står i en fasit. Oppgavene kommer i rad og rekke til elevene. Når en oppgave er løst venter den neste oppgaven. Slik fortsetter det inntil den siste oppgaven er løst i denne timen, denne leksen eller i denne boken. Alternativt kunne vi tenke oss oppgaver som inviterer elevene til selv å stille nye problemstillinger. Oppgavene i elevenes lærebøker gjør sjelden det. Elevene rangeres innbyrdes etter hvor langt de er kommet i læreboken. Oppgaveløsingen starter allerede i 1. klasse. Endepunktet for oppgaveløsingen er eksamen. Oppgavediskursen avtegner seg, med ord som kjennetegn:

Kjøre, reise, fart

Lærerne bruker stadig ordet «kjøre». Det «kjøres» på for å komme frem: «Så jeg kjører masse praktisk regning derfra» «Det begynner jeg med tidlig på høsten, la oss si i 9. klasse». Jan kjører den tradisjonelle måten, han kjører et minikurs, han kjører et hver 2. uke opplegg osv.

Ordet «kjøre» kan gi assosiasjoner om en kusk/sjåfør som vet hvor reisen skal gå. Det er et mål for kjøreturen, og det er kuskens oppgave å bringe passasjerene frem. Passasjerens oppgave i forbindelse med kjøreturen er å holde seg ombord på kjøretøyet, slik at de ikke kommer vekk underveis. Lærernes bruk av «kjøre» peker i retning av en ferd mot eksamen. Reisen består av en rekke oppgaver som skal løses. Oppgavene kjøres gjennom minikurs, gjennom skriftlige innleveringer og til slutt gjennom en siste gjennomkjøring og oppkjøring. Også lærerne på barnetrinnet har et mål i sikte, oftest er det ungdomstrinnet. De vet at en annen lærer skal overta eleven og de vet noe om hvordan denne læreren tenker og vurderer. Derfor er også de ute på en reise der det skal skje bestemte ting underveis. Bruken av «kjøre» hos lærerne kan også tolkes som en transport av kunnskaper fra et sted til et annet. Slik sett kan «kjøre» settes i forbindelse med metaforer som «dose», «ballast» og «kapasitet». Oppfatningen av en reise bekreftes gjennom bruk av ord som «avsporing», «gå i sporet», «skjære ut», «backe ut», «rase gjennom», «underveis», «rett-frem-løpet», der elevene «regner fritt» og der det finnes elever som «ligg eit hestehovud – langt forut.»

Vår danske kollega Peter Bollerslev brakte frem uttrykket «nu går det på skinner» som er i flittig bruk blant danske lærere. Uttrykket brukes synonymt med «å gå i sporet» eller «rett-frem-løpet». Når «det går på skinner» i Danmark går det rett frem uten hindringer. Uttrykket «kjøre inn» brukes gjerne om å få en ny ting til å fungere. En ny motor kjøres inn. En lærer «kjører inn» bruk av karakterer i 7. klasse: «Vi vil ikke for tidlig kjøre inn dette med karakterer.» Kanskje er det knyttet noe ubehagelig til det å «kjøre inn».

Pensum tolkes longitudinelt, oppgave følger oppgave og kapittel følger kapittel. Lærerne på ungdomstrinnet har tre år å gjøre det på. Men oftest tenker de på hva de må gjennomgå innen et år ut fra kravene som læreboken stiller. En reise har stoppesteder. Læreren samler klassen rundt seg og de ser på landskapet. Hvordan skal lærestoffet forstås? Hvilke regler og setninger kommer til bruk her? Hvordan skal de brukes? Hvilke muligheter er her? Hva synes elevene er vanskelig? Reisens stoppested gir rom for ettertanke og refleksjon omkring de faglige forhold. Her kan en samtale og forhandle. Etter en slik pause fortsetter reisen gjennom oppgaverekken.

Ungdomstrinnet utgjør et tidsrom på tre år. Barnetrinnet deles gjerne inn i to, småskoletrinnet og mellomtrinnet. Et bestemt kvantum oppgaver skal løses, oppgaver som er ordnet i rekke. En viss reise skal gjennomføres på et visst tidsrom. Vi har tid og veg og kan dermed snakke om fart. Denne farten er kjernen i oppgavediskursen. Lærerne bruker ikke ordet «fart», men fenomenet ligger under det de sier. Når de sier noe om stoffmengde, er det oftest i sammenheng med tid. Og når de sier noe om tiden, er det i sammenheng med stoffmengden. Elevenes arbeid med stoffmengden skjer gjennom oppgaveløsingen. «Stoffmengde» fungerer synonymt med «oppgaver» eller antall emner som det skal løses oppgaver i. Stoffmengden er oftest for stor i forhold til disponibel tid. Det kreves en viss fart for å gjennomføre reisen. Lærerens dilemma avtegnes. Farten skaper dårlig samvittighet hos Erik fordi han hele tiden må «jage videre. Til eksamen …» Jan bruker uttrykket «ha med seg»: «Jeg føler at det er noen minimumsgreier de bør ha med seg som ballast.» Bruken av «minimumsgreier» peker i retning av at Jan ikke er tilfreds med det han oppnår. Han må prøve å sikre at elevene iallfall får noe «med seg». Lærerne bruker ofte «kjøre» og synonymer for å markere det rutinemessige i forhold til det de kunne hatt lyst til å gjøre. De bruker det da på en for dem negativ måte, noe som illustreres ved: det rutinemessige, plankekjøringen, rett-frem-løpet osv. Inntrykket av at det for lærerne eksisterer to slags undervisning i matematikk forsterkes, den rutinemessige og trygge og det som ligger utenfor sporet.

Dilemmaet forskjellig fart – sammenholdt klasse

Oppgavediskursen skaper bestemte behov for differensiering, diskursen vil også forme metoder som kan løse differensieringsproblemet. Forskjellig fart hos elevene gjør at de danner en rekke. Til ethvert tidspunkt ligger elevene spredd langs oppgaverekken som løperne på en 10 000 meter. Samlet ved start, mer og mer spredd rundt banen for hver runde som løpes. Noen elever «ligger godt an» mens andre «faller av». Startstedet kan være begynnelsen av et skoleår eller ved begynnelsen av et kapittel. Læreboken organiserer fremdriften der hvert kapittel tildeles en viss tid. Innenfor dette tidsrommet får elevene løst forskjellig antall oppgaver. Kapittelet samler elevene. Rekkefølgen skaper differensieringsproblemet. Læreren må sørge for at han får gitt et tilbud til samtlige elever, uansett hvilken plass de har i rekkefølgen. Tilbudet er oppgaver og hjelp til å løse disse. «Noen har jo ikke kapasitet til å komme seg gjennom alt. Mens andre må du kanskje fore med noe ekstra stoff.»

Lærerne «forer» elevene mer eller mindre, gir dem større og mindre «doser», og prøver å få elevene til å «komme lenger». Når de henvender seg til samlet klasse vil grupper med elever falle ut. Det eksisterer en topp, et midtskikt og en bunn. Det går selvsagt an å henvende seg til en sammenholdt klasse både i matematikk og andre fag uten at noen elevgruppe behøver å falle ut, men oppgavediskursen medfører at elevene befinner seg på forskjellig sted. Det er utfra dette at lærerne klassifiserer elevene for ulike differerensieringstiltak. «Det er jo eit sprang i den klassen eg har no, det er to som kjører heilt sitt eige løp». De to elevene kommer til å ligge «eit hestehovud» foran de andre. Erik differensierer ved å gi dem flere oppgaver. Rolf peker på at dersom han ikke hadde hatt differensieringsproblemet så ville han «ha prøvd å komme lenger, gått videre. For det er nok mange elever som kunne ha klart større doser.»

Lærerne utvikler også andre diskurser, f.eks. med tilknytning til prosjektarbeid. Her blir differensieringsproblemet annerledes, noe som vil kalle på andre didaktiske løsninger. Kombinasjonen oppgaveløsning/sammenholdt klasse skaper frustrasjon og motstand hos lærerne. Dilemmaet ligger fremme i dagen: Elever som holder forskjellig fart vil oftest arbeide med forskjellige oppgaver. Lærerne føler forpliktelse til å støtte hver enkelt av dem og makter oftest ikke dette. Dette gjelder spesielt for lærerne på ungdomstrinnet.

Ole snakker om en «årelang dårlig samvittighet, det at du kunne ha gjort så uendelig mye mer hvis du hadde hatt mer homogene grupper.» Han peker på at han bare rekker «deler av den sammenholdte klassen». Noen vil «falle utenfor». Dersom han går inn på «midten» vil «topp» og «bunn» falle utenfor. Hanne som har en 1. klasse observerer at hun tvinges til å skape lærevansker: «Jeg har jo sett på tiden fram til sommeren og funnet sånn noenlunde av boka hvor jeg må være til vinterferien, til påsken. Da må jeg forsere i forhold til henne. Hun er bare en av dem. Det er et par tre, men hun som skjærer mest ut da. Subtraksjon, det veit jeg… det syns jeg er forskrekkelig… hvor liten forståelsen er.»

Dilemmaet kan bli til en dobbeltbinding: toppsjiktet, midtsjiktet, bunnsjiktet; uansett hva en prioriterer så prioriterer en feil. Per ønsker at de svake elevene skal slippe eksamen: «Spesielt med de svake, der er det jo ganske sprøtt egentlig – at de skal gjennom det samme nåløyet. Da kan du drepe interessen for matematikk fullstendig. Så der, jeg vet ikke, der burde det vært en eller annen måte du kunne fritatt for eksamen.» Han plages av hva som skjer med de svake elevene. Hvis de slapp eksamen så kunne en «ha gjort noe interessant slik at de kunne hatt glede av matematikken. Kunne ha gått ut av skolen og husket tilbake på den tiden som noe gøy.» Per viser i likhet med flere av de andre lærerne at han kjenner alternativer til oppgavediskursen, og at han i hvert fall med de svake elevene ønsker å gå ut av den. Til syvende og sist velger han imidlertid, stadig på vegne av de svake elevene, å følge denne diskursen.

Rolf opplever problemet for de flinke elevene slik: «Men hvis jeg ikke hadde hatt differensieringsproblemet ville jeg ha prøvd å komme lenger, gått videre. For det er nok mange elever som kunne ha klart større doser, kommet lenger i faget, hvis vi på en måte hadde hatt en homogen gruppe. Nå blir det vel mer at de flinke går i bredden. De regner 5 oppgaver av den typen i stedet for 3 eller 2 som kanskje var nok.» De flinke elevene karakteriseres her ved at de kunne ha klart større doser. Når Rolf gir eksempel på hva han formidler til de flinke elevene er det «i gaten 1. klasse videregående skole». Når lærestoffet i 9. klasse er tilegnet, står neste års lærestoff og venter.

Elevsyn

Lærerne har ansvar for at elevene får løst et minimum med oppgaver slik at de rekker frem til eksamen. De observerer og vurderer hvordan elevene arbeider med dem. Noen elever er raske og løser mange oppgaver, noe som i utgangspunktet må vurderes positivt. Det blir ikke alltid vurdert slik, bl.a. fordi lærerne observerer at elevene regner om kapp, uten at elevene tenker så mye over hva de regner. Andre elever regner langsomt. De hindrer fremdriften av klassen. Per merker seg en utvikling i det siste tiåret, elevene er ikke så tente på å løse oppgaver lenger. Han forteller om elever som for noen år siden løste alle eksamensoppgavene i heftet, og som dermed var sikre på M-en. Dagens elever «stresser» ikke så mye. Mange av dem er «kalde taktikere», de løser akkurat så mange oppgaver som må til for å få M-en. Ole peker på at undervisningen gir elevene anledning til å være late: «Den er så firkantet oppbygget – sant? Så – elevene liker den der. For de slipper å bruke fantasi, de kan være reproduktive – de slipper å anstrenge seg, å formulere en tekst.» Han innfører begrepet «behagelighetsnivået» som enkelte elever kan legge seg på. Bak disse formuleringene ligger det en oppfatning av at elevene kjenner til hva som kreves av dem, og at de ofte ikke gjør noe mer enn dette. Hvor mange oppgaver elevene klarer å løse innen et bestemt tidsrom bestemmer hvilken posisjon de får i elevrekkefølgen. En del av disse posisjonene har lærerne satt navn på. De vanligste navnene er knyttet til karaktersystemet: S/M-elever, M-elever, G-elever, NG/LG-elever. Vi finner også uttrykk som: middelhavsfarer, vippekandidat, elever som faller utenfor, elever som kan glimte til, elever som kan ha helt andre evner, kunne hatt glede av matematikken, de som må fores med ekstra stoff.

Rolf og Nina gir eksplisitt uttrykk for en sammenheng mellom elevsyn og oppgavediskursen. I forbindelse med vektleggingen av rutinepreget «reproduksjon» i timene etterlyser Rolf kreativitet: «Det er vrient. Men av og til får du sånne glimt av elever som egentlig er sånn veldig…, kanskje lite motivert, til og med lat, som ikke gjør så veldig mye. De kan glimte til av og til og vise at de har jo helt andre evner som de ikke får brukt eller får gjort nytte av da.» Nina forsvarer prosjektarbeid med matematikk ut fra et liknende perspektiv: «Det kunne jo være litt interessant å se litte granne – jeg har jo fått en pekepinn på hvor de ligger i matematikken og – om dette kan slå ut på en annen måte (vakkert, vakkert) å jobbe på denne måten.»

Sammenhengen mellom oppgavediskursen og språket som brukes om elevene kommer også til syne når lærerne snakker om andre fag. Lærerne kan snakke om elevene på en annen måte i forbindelse med et annet fag enn matematikk. Pers elever utfører et prosjekt med vannanalyser fra brønner og tjern innenfor et omfattende område rundt skolen. Flere ganger gir han uttrykk for hvor positive elevene er: «Jeg måtte skryte av disse 8. klassene. For resultatene ble så fine. De var så seriøst opptatte. Det var ikke nei å høre.» Dette er de samme elevene som Per i annen sammenheng kan ha omtalt som «kalde taktikere».

Dilemmaer i diskursbruken

Oppgavediskursen ble rekonstruert ut fra en oppfatning av at lærerne vektlegger oppgaveløsing som læringsvirksomhet. På samme tid virker en rekke institusjonelle forhold inn og medfører at manglende tid til å arbeide tilstrekkelig grundig med lærestoffet er et omfattende problem. Dette skapte metaforene «reise» og «fart» som uttrykk for forholdet mellom oppgavemengden og tiden som er til disposisjon. Lærerne kan ikke tenke på oppgavene elevene skal løse uten at de samtidig tenker på tiden. Tiden blir derfor en regulerende faktor i lærernes didaktiske kunnskapsbegrep.

Selvsagt bor ikke alle lærere i diskursen som er trukket opp her. Her er tatt utgangspunkt i språket til fem lærere som i særlig grad viser betydningen koplingen oppgaveløsning/tid har for deres didaktiske kunnskapsbegrep. Selv blant disse vektlegges andre forhold som ikke er tatt med i kjernen for diskursen.

Lærerne snakker ofte om vanskene med å håndtere kunnskapene slik de ønsker det fordi spredningen i klassen er så stor som den er. De behøver da ikke å relatere spredningen til det forhold at elevene befinner seg på forskjellige steder i oppgaverekken, men heller det at elevene har forskjellige faglige nivå (spesielt når det gjelder regneferdighet og forståelse for regler i algebra). Selv om tiden ikke hadde vært en slik begrensende faktor som den er, ville disse lærerne likevel ha opplevd dilemmaer. Når de arbeider med sammensatte tekstoppgaver for de flinke elevene, faller de svake utenfor. Enkle «oppstilte» oppgaver vil kjede de flinke elevene. Dilemmaet er likevel knyttet til reiser gjennom oppgaverekker. Det er eksistensen av og betydningen av oppgaveløsing som bringer frem problemet med grupper som faller utenfor. Det er når vi utfordrer denne eksistensen at Nina og Rolf undres: Det kunne vært spennende å se hva de svake elevene kunne klare dersom en gjorde noe annet i undervisningen enn å løse oppgaver.

Lærerne forteller om en rekke dilemmaer i forbindelse med den sammenholdte klassen som mer er knyttet til fenomenet «felles evaluering» (som igjen skjer ved at elevene må løse oppgaver) enn til tidsmessige begrensninger. Det er mulig å tolke disse lærerne dit hen at selv om de hadde fått all verdens tid til rådighet så ville de svakeste elevene ikke makte å løse «M-elevenes oppgaver». Det er dette som, ifølge lærerne selv, gjør at de begrenser prosjektarbeid i klassen. Hvordan kan f.eks. Per la de svake elevene glede seg over prosjektarbeid når han ikke kan tilgodese arbeidet deres her når han evaluerer dem? Lærernes dilemmaer er ikke alltid knyttet til forholdet mellom reisen gjennom oppgaverekken og tiden som er til disposisjon. På den annen side står som oftest enten tiden eller oppgaverekken som en kulisse i bakgrunnen for de frustrasjonene læreren opplever.

Dilemmaene som potensiale

Det at lærerne kan bo i oppgavediskursen, at de prøver å løse didaktiske problemer som oppstår ved hjelp av diskursen, innebærer ikke at de er ukritiske til den. Tvert om er mange av lærerne lite tilfredse med denne måten å håndtere kunnskaper på. De vet bare ikke hvordan de skal løse opp den frustrasjonen og den utilfredsheten de opplever når de håndterer kunnskapene på denne måten. Dilemmaene kommer ikke bare til uttrykk gjennom det Foucault kaller for den spinkle, usynlige teksten som løper mellom linjene i hovedteksten, de kommer også til uttrykk gjennom lærernes reflekterte kritikk av sin egen hovedtekst. Dette siste innebærer at lærerne har en reflektert distanse til den måten de underviser på. Den kritiske oppfatningen av diskursen kommer ikke minst til uttrykk gjennom lærernes beskrivelser av hvordan elevene arbeider med oppgavene. Elevenes manglende evne og vilje til refleksjon i faget er et problem for de fleste lærere og flere av dem knytter dette trekket ved elevene til oppgavediskursen.

Lærerne er også opptatt av at elevene ikke får utnyttet matematikkfagets muligheter. Dette gjelder spesielt det praktiske. De fleste lærerne ønsker at matematikken skal bli «mer praktisk». De ønsker også at elevene skal oppleve faget på en mer helhetlig måte enn hva de gjør gjennom oppgavediskursen. Dilemmaet mellom ønsket om å utvikle engasjement og kreativitet hos elevene og krav i forbindelse med eksamen kommer ofte til uttrykk.

Erik viser hvor dypt dilemmaet kan sitte: «sjøl om du ser at elevane her tenner på ein ting – så kan du ikkje drive for lenge med det altså. For du vil jaga vidare… Det er ikkje til å kome forbi det.» « …det er vel og ein forskjell på faga veit du. Ein får det vel ikkje 100% likt, men det eg er ute etter er at ein del av dei ideane som er med og skaper engasjement og kreativitet i den prossessorienterte skriveundervisninga, den kan kanskje overførast. Eg syns kanskje at boka, i og med at dei har disse finn-ut oppgåvene og desse problemoppgåvene, er med på det. På andre sida er boka ganske stringent og strukturert. Du veit akkurat nøyaktig kor du har alle elevane. For eg har kontrollprøver eg kan ta. Eg tok ein no. Sjokkprøve».

I begynnelsen vektlegger han «engasjement» og «kreativitet». Han har fått dette til i norskundervisningen, og mener her at «den kan kanskje overførast». Han ser muligheten i problemoppgavene i læreboken. Så i neste øyeblikk gir boka en annen assosiasjon: den er ganske «stringent og strukturert». Dette leder over til å vite nøyaktig hvor «du har alle elevene» i forbindelse med eksamen som så leder til assosiasjonen «sjokkprøve». Bokens stringens og struktur sammen med Eriks ønske om å vite hvor elevene er faglig sett er knyttet til kravet til matematikklæreren på ungdomstrinnet: Det eksisterer muligheter for en eksamen, og som Erik sier det litt senere: «dei vil ikkje sitte som nokre idioter den dagen dei er til eksamen. Dei vil ikkje det.»

Ole beskriver seg som «forherdet» i forbindelse med en stadig dårlig samvittighet, og snakker også om en «årelang dårlig samvittighet.» Når jeg relaterer dilemmaene og spenningen i lærernes språk til potensialet i deres didaktiske kunnskapsbegrep, er det fordi disse dilemmaene viser lærernes innsikt i at det er mulig å gjøre noe annet i undervisningen enn det de vanligvis gjør. En årelang dårlig samvittighet utvikles neppe dersom en ikke hadde ønsket å få noe mer ut av undervisningen.

Nina arbeider også på ungdomstrinnet. Hun vektlegger ikke dilemmaet slik de øvrige lærerne gjør. Hun snakker heller ikke så mye om oppgaveløsing. Hun arbeider under de samme rammebetingelsene som de andre ungdomsskolelærerne og har samme tid til disposisjon som de andre lærerne til å komme gjennom en bestemt stoffmengde og et visst antall oppgaver. Spørsmålet som blir stående ubesvart her er om lærerne som bor i oppgavediskursen legger for stor vekt på rammebetingelsene, eller om det kan være Nina som undervurderer disse betingelsene. Selv om oppgavediskursen synes urokkelig, vil lærerne selv kunne vurdere i hvilken grad de vil flytte for godt inn i den, eller om de vil bevare et urolig og utprøvende forhold til den.

Litteratur

Berg Eriksen T: Nietzsche og det moderne, Universitetsforlaget, Oslo, 1989

Elliot P: Methods and Ethics, International Journal of Qualitative Studies in Education, I (2), 1988

Foucault, M: The Archeology of Knowledge, Tavistock Publ., London, 1985

Foucault, M: Power/Knowledge, The Harvester Press, Brighton, 1986

Højrup, J: Varieties of Mathematical Discourse in Pre-Modern Socio-Cultural Contexts: Mesoptamia, Greece and the Latin Middle Ages, Science and Society, XLIX(1), 1989

Madsen, P: Tekst, tegn og betydning, Borgen, København, 1973

Mellin-Olsen, S: Hvordan tenker lærere om matematikkundervisning? Bergen lærerhøgskole, Landås, 1991

Mellin-Olsen, S: Samtalen som forskningsmetode. Caspar Forlag, Landås, 1996