Tangenten 2/1995
Per Frostad

Konkretiseringsmateriell – veien til matematikkinnsikt?

I begynnerundervisningen i matematikk er det god pedagogikk å benytte konkretiseringsmateriell når elevene skal introduseres for nye kunnskapskomponenter. Når elevene f.eks. begynner med flersifrede tall, nyttes Unifix-klosser, plugg-innbrett, hundrebrett, Cuisenaire-staver mm. for å gi elevene en begrepsmessig forståelse for logikken i posisjonssystemet.

Ved å bruke slikt undervisningsmateriell ønsker en å tydeliggjøre de symbolske matematiske sammenhengene på en måte som er mindre symbolsk, og dermed antatt lettere for elevene å forstå. Når vi som lærere ser på konkretiseringsmateriellet, ser vi begrepene gjennom konkretene, konkretene blir transparente. To fulle ti-rader og tre enkle brikker på et hundre-brett er for oss ikke bare en samling brikker på et brett, de er konkretisering av en ide, sammenhengen mellom brikkene (den konkrete verden) og tallsystemet (den matematiske verden) trer tydelig fram. Er dette tilfelle også for elevene?

Dette spørsmålet krever både en empirisk og teoretisk belysning. Da vil jeg først se på noen forskningsresultater, der effekten av ulike konkretiseringsmidler har vært vurdert, og deretter betrakte spørsmålet fra en mere teoretisk innfallsvinkel.

Forskningsfunn

Effekten av konkretisering i elementær matematikk har vært gjenstand for omfattende forskning (Thomsen, 1992). Resultatene av forskningen har imidlertid vært vanskelig å tolke; enkelte forskere finner god effekt av konkretene, andre ikke. Noen typiske eksempler på slik forskning er Resnick & Omanson (1987), Fuson & Briars (1990) og Labonowicz (1985). Resnick og Omanson var opptatt av om bruk av konkretiseringsmateriell påvirket barns forståelse av subtraksjon med flersifrede tall. De fant ingen effekt av konkretene, hverken med tanke på forståelse eller ferdighet. Fuson og Briars rapporterte om god effekt av konkreter (base-ten blocks) på elevenes ferdighet i flersifrede addisjons- og subtraksjonsoppgaver, mens Labonowicz ikke fant effekt av et tilsvarende opplegg. Snorre Ostad har studert matematikksvake elever gjennom mange år, og har i dette arbeidet bl.a. drevet en systematisk utprøving av effekten av konkretiseringsmateriell på elevenes faglige utvikling (Ostad, 1990). Fra 1982-88 lot Ostad en gruppe matematikksvake elever gjennomføre et undervisningsopplegg der bruk av helkonkret materiell sto sentralt. Effekten av opplegget viste seg primært i det Ostad kaller den horisontale dimensjon; elevene ble flinkere til å løse matematikkoppgaver ved hjelp av helkonkreter, men i forhold til den vertikale dimensjon (dvs. overføringseffekt til arbeid med rene symboler) var effekten liten og i noen tilfeller til og med negativ.

En opplagt forklaring på de tilsynelatende motstridende forskningsresultatene er at de ulike forskerne ikke måler det samme (Thomsen, 1992). Skillet mellom prosedyremessig og begrepsmessig kunnskap er en måte å karakterisere ulike typer læringsresultat på (Hiebert & Lefevre, 1986). Ostad har videre rettet oppmerksomheten mot kunnskapenes funksjonalitet, og pekt på at kunnskap kan være funksjonell i forhold til en læringsoppgave (f. eks. arbeid med konkreter), men ikke funksjonell i forhold til andre (f.eks. arbeid med oppgaver av mere symbolsk karakter). For å kunne si noe fornuftig om effekten er det derfor helt nødvendig å presisere nærmere hva som står i fokus for interessen. Dette henger nøye sammen med hvordan en ser på læring, både hva det er og hvordan den tilegnes.

Teoretisk tilnærming

Jeg vil i dette avsnittet kontrastere to ulike teoretiske retninger som hver på sin måte belyser læringseffekten av konkretiseringsmateriell i matematikk De to retningene er representasjonsteori og konstruktivisme, og jeg vil hevde at skal bruk av konkreter gi begrepsmessig forståelse, krever det at en legger en konstruktivistisk forståelsesmåte til grunn. Jeg vil videre stille spørsmål ved om dette er den mest utbredte praksis i skolen i dag. Selv om hovedskillet går mellom de to nevnte teoretiske retningene, vil jeg videre peke på en tredje retning, nemlig konstitusjonalismen, som, selv om den har mye til felles med konstruktivismen, vil kunne kaste ytterligere lys over den aktuelle metodiske tilnærmingen i matematikk

I følge konstruktivismen overføres ikke kunnskap fra ett individ til et annet. Læring er en aktiv prosess, der det enkelte individ skaper mening i verden på grunnlag av de mentale forestillinger av virkeligheten det til enhver tid har. Kunnskap er altså ingen avbildning av verden, ingen representasjon av verden, men snarere en tolkning av den (Engstrøm, 1993). Mot dette synet står en epistemologisk retning som har vært kalt representasjonsteori ("representational view of mind") (Putnam, 1988). Læring blir her forstått som en prosess der individet skaper intemaliserte mentale representasjoner som gjenspeiler prinsipper i den ytre verden. Begrepene, prinsippene, logikken, antas her å ligge i den ytre verden; læringsoppgaven for eleven blir å skape en mental struktur som representerer den ytre verden på en mest mulig korrekt måte.

Sentralt i representasjonsteorien er dualismen mellom en verden uavhengig av vår bevissthet og vår bevisste kunnskapen om denne verdenen. Innen konstruktivisme regner en også med et slikt skille, men fokus er her rettet utelukkende mot vår tolkning av verden; det er bare gjennom våre sanser og våre tolkninger vi har tilgang til verden. Å operere med en verden uavhengig av en tolkende bevissthet blir derfor uinteressant (Cobb, Yackel & Wood, 1992). Kostitusjonalismen (Marton & Neuman, 1990) skiller seg fra konstruktivismen ved at skillet mellom en ytre og en indre virkelighet her ikke eksisterer. Denne retningen bygger på en fenomenologisk forståelse, og setter fokus på relasjonen mellom individet og objektet, den eneste verden som eksisterer er i møtet mellom et objekt og et subjekt. En er her videre opptatt av den funksjon denne relasjonen (eller oppfatningen av et fenomen) har i læringssituasjonen. Mening vil derfor her bli sterkere vektlagt enn innen konstruktivismen.

Innen representasjonsteori vil kriteriet for læring ligge i grad av overensstemmelse mellom eksternale (den ytre verden) og internale (individets mentale forestillinger) representasjoner. Når en bruker konkretiseringsmateriell til å illustrere f.eks. posisjonsprinsippet, antas det at ideen (den matematiske strukturen) er en egenskap ved materiellet. Det er altså ikke slik at ideen er noe vi (læreren) har tillagt eller tolket inn i brikkene, idØn er der implisitt som en følge av den utformingen materialet har fått. Det prinsipp som Leks. læreren ser i materiellet, er derfor det prinsippet også andre vil måtte se i det samme materiellet. Materiellet ses her på som en eksternal representasjon av det prinsipp det skal hjelpe eleven til å internalisere.

Innen konstruktivisme (og konstitusjonalisme) har materiellet en helt annen funksjon. Fokus rettes her mot elevens tolkning av materiellet. Denne tolkningen gjør eleven utfra formen på materiellet, instruksjon, sosiale konvensjoner, sine kognitive strukturer osv. Poenget er at selv om læreren ser en tolkning som selvinnlysende, er det ikke nødvendigvis tilfelle for eleven. IdØn som materiellet er laget for å tydeliggjøre blir bare en av mange ulike idØr man kan tolke inn i det.

Kommunikasjonen mellom lærer og elev blir derfor av vesentlig betydning hvis eleven og læreren skal kunne nå en intersubjektiv enighet om hva materiellet symboliserer. At en slik kommunikasjon ikke er uproblematisk, skal vi snart se.

To forskere som hver på sin måte har fokusert på kommunikasjonen mellom lærer og elev i en læringssituasjon, er Inger Wistedt (1994) og Marit Johnsen Høines (1987).

Inger Wistedt har satt søkelys på at lærer og elev kan ha en helt ulik forståelse av hva læringsoppgaven er, og at dette forhold vil kunne hindre god kommunikasjon mellom dem. Sentralt i hennes tenkning står begrepet kontekst. Med kontekst forstås den kognitive konstruksjon av læringssituasjonen. Wistedt kaller også dette læringsprosjektet. Ulike elever kan arbeide med den samme oppgave, og bruke det samme konkretiseringsmateriell, men arbeide innenfor ulike kontekster. Som et eksempel nevner Wistedt (1994) en studie der logiske brikker ble brukt til å konkretisere faktorisering i forbindelse med innføring av divisjon. Elevene skulle gruppere et sett med brikker i ulike delmengder av lik størrelse, med det for øye at brikkene kunne representere tilvarende operasjoner med rent symbolske enheter, nemlig tall. Gjennom inngående kvalitative studier avdekket imidlertid Wistedt at de læringsprosjekter (de kontekster) mange av elevene opererte innefor, slett ikke var i overensstemmelse med lærerens intensjoner. En elev betraktet f eks. tvert imot brikkene som leketøy han kunne manipulere med, og tilla dem overhode ingen representerende karakter. Kommunikasjonen mellom denne eleven og læreren bar da også preg av at de ikke forsto hverandre. De snakket rett og slett ikke om samme sak. Det viste seg at mange ulike oppfatninger om brikkenes funksjon i læringsopplegget gjorde seg gjeldende blant elevene, og mange elever opererte innenfor kontekster (hadde læringsprosjekt) som avvek mye fra lærerens. Læreren bygde sin kommunikasjon med eleven på sin kontekst, elevene svarte ut fra sin kontekst, kommunikasjonen minnet derfor i følge Wistedt mye om politiske diskusjoner der deltakerne opererer innenfor hver sine virkelighetsoppfatninger, og derfor snakker forbi hverandre.

Johnsen Høines har spesielt vært opptatt av språket som brukes i skolen, og har funnet at elevene godt kan ha en begrepsmessig og substansiell forståelse av hva kommunikasjonen dreier seg om, men språket læreren bruker vil kunne hindre en gjensidig forståelse. Utgangspunktet for denne tilnærmingen er Vygotskys begrep om 1. og 2. orden språk, hvor det hevdes at tenkning bare kan finne sted i 1. orden språk. Det språk lærerne bruker fungerer imidlertid, ifølge Johnsen Høines, som et 2. orden språk for elevene, og hindrer dermed at de forstår læringsoppgaven. Ut fra det som nå er sagt vil det stå fram som viktig at læreren er eksplisitt i sine forklaringer om hvilken funksjon konkretiseringsmateriellet skal ha (skal gi innsikt i prinsipper om symbolske sammenhenger), og at dette foregår i et språk han er sikker på fungerer som et 1. orden språk for elevene. Cobb et. al. (1992) peker imidlertid på at selv om dette er ivaretatt, vil konkretiseringsmateriellet for mange elever likevel ikke kunne gi noen ny innsikt i begrepsmessige sammenhenger.

Selv om materiellet er konkret i den forstand at det kan manipuleres med av elevene, har det en symbolsk karakter i sammenhengen. Det er laget for å representere en ide. For dem som er kjent med ideen virker det som en tydeliggjøring av ideen; det virker som om ideen springer ut av materiellet. At det er slik er ikke merkelig, materiellet er jo laget nettopp med det som formål; med utgangspunkt i en ide er det utformet for å representere denne ideen. Problemet er bare at for dem som ikke i utgangspunktet kjenner idØn, blir denne sammenhengen vanskelig tilgjengelig.

John Holt (1982) forteller om sin entusiasme da han første gang lærte å kjenne Cuisenaire-stavene, og så hvor godt egnet disse stavene var til å tydeliggjøre antallsbegrepet. Forholdet mellom staver av ulik lengde reflekterte forholdet mellom mengder med ulikt antall element, verden av staver og verden av tall symboliserte de samme ideene. Teoretisk skulle derfor elever, ved å manipulere med staver og reflektere over det de gjorde, få innsikt i forholdet mellom mengder med ulikt antall element. Denne teorien viste seg imidlertid å ikke holde stikk. De elevene som allerede hadde sikre tallbegrep så straks sammenhengen mellom tall og staver, for de elevene som ikke hadde sikre tallbegrep ble imidlertid stavene like lite relatert til den verden de kjente som tallene var det.

Dette eksemplet illustrerer et viktig poeng. Når vi bruker konkretiseringsmateriell til å tydeliggjøre ideer, vil ikke en elev kunne se ideen i materiellet om ikke idØn allerede på forhånd er kjent for ham. Middelet (undervisningsmateriellet) forusetter altså at sluttproduktet (begrepet) er kjent for å kunne være virksomt. Bereiter (1985) har kalt dette dilemmaet for "læringsparadokset" ("the learning paradox"). Han uttrykker det slik: "If one tries to account for learning by means of mental actions carried out by the learner, then it is necessary to attribute to the learner a prior cognitive structure that is as advanced or complex as the one to be learned ...".

Betyr så dette at konkreter som representasjoner av symbolske sammenhenger ikke vil kunne fungere? Selvsagt ikke, spørsmålet blir imidlertid hvordan de brukes. I en representasjonsteoretisk tankegang ligger f.eks. posisjonssystemet implisitt i hundrebrettet. Ved å la elevene jobbe tilstrekkelig lenge med hundrebrett når de løser oppgaver med flersifrede tall, vil ideen etter hvert bli internalisert, elevene vil få en mental representasjon av posisjonssystemet. Lærerens rolle i et slikt scenario kan ligge et sted på et kontinuum mellom svært tilbaketrukket (elevene får selv oppdage prinsippet) til svært forklarende (verbalisere sammenhengen mellom konkret og ide) (Cobb et al., 1992). Som sagt bygger denne retningen på en dualisme mellom en ekstern og en intern verden, og en oppfatning av at prinsippene kan leve sitt eget liv i den eksterne verden. Nettopp denne dualisme er opphavet til "læringsparadokset".

Innen konstruktivismen (og konstitusjonalismen) er dette skillet opphevet. Matematiske strukturer oppfattes her som sosiale konstruksjoner som har vokst fram gjennom historien; ikke som selvinnlysende prinsipper som ligger implisitt i den eksterne virkeligheten. Synet på læring blir derfor et helt annet innenfor denne retningen enn innenfor en representasjonsteorien. Enhver ny innsikt vil måtte bygge på den forståelse av verden eleven besitter. Oppgaven blir derfor ikke å forsøke å gjøre matematiske begreper tilgjengelig for eleven på en så tydelig måte som mulig, men å utvikle elevens matematiske tenkning fra de kognitive strukturer han allerede har skapt. Ettersom matematikk har en funksjon i den sosiale virkelighet, blir dessuten det sosial aspekt viktig; tolkningene må kunne kommuniseres og være i overensstemmelse med vedtatte konvensjoner.

To konkrete eksempler på undervisningsopplegg som benytter en slik tankegang er Neuman (1987) og Cobb et al. (1992).

Neuman var opptatt av hvordan barn bygger opp talloppfatning. Hun gjennomførte et undervisningseksperiment i fire 1. klasser i Sverige, der to av klassene fikk et tradisjonelt undervisningsopplegg og to klasser gjennomførte et spesielt opplegg kalt "Landet Lenge Siden", et opplegg som vektla sterkt elevenes egne konstruksjoner (konstitusjoner) av kunnskapen. I landet "Lenge Siden" bodde en konge og hans folk De hadde ingen målesystemer av noe slag, og ingen tall. Over en periode på ett år ble så ulike scenarier fra dette landet presentert for ungene, For å løse problemer og konflikter som oppsto i dette fiktive landet, meldte det seg etter hvert behov for ulike typer representasjoner, målesystemer osv. Etter forslag fra elevene ble disse "funnet opp" etter som behovene meldte seg. Elevene utviklet selv rotasjonssystemer, som etter hvert ble utviklet til mere formelle systemer. Elevenes begrepsmessige forståelse lå imidlertid hele tiden forut for symbolutviklingen Gjensidighet, både i tolkninger og symbolbruk, ble sikret gjennom diskusjoner i klassen. Neuman fant at elevene i hennes to eksperimentklasser utviklet en helt annen begrepsmessig forståelse enn elevene i kontrollklassene. 1 4. klasse fantes heller ikke matematikkvansker i eksperimentklassene, mens 10 % av elevene i kontrollklassene hadde slike vansker.

Cobb et al. gjennomførte et opplegg det scenariet var en dropsfabrikk. Elevene måtte her utvikle ulike måter å pakke drops på, som fungerte i forhold til salg. Drops ble pakket i ruller, som deretter ble pakket i esker, som deretter ble pakket i kartonger osv. Disse aktivitetene ga opphav til reell problemløsning elevene imellom. De lærte seg å telle 10 og 10 (ruller), 100 og 100 (esker) osv. Posisjonssystemet ble på denne måten utviklet gjennom konkrete problemstillinger, felles konvensjoner ble sikret gjennom diskusjoner. Dette er to eksempler på innfallsvinkler som står i kontrast til representasjonsteoretisk tilnærming der de matematiske strukturene antas å ligge fast i utgangspunktet, og elevenes oppgave blir å tilegne seg de på forhånd fastsatte ideer. Det de dermed skal gjøre er å oppdage en på forhånd definert tolkning av virkeligheten, som kan være mer eller mindre i overensstemmelse av deres egen. At mange elever ikke vil være istand til å oppdage denne "riktige" tolkningen, er trolig en viktig forklaring til matematikkvansker.

Konkreter brukes mye i skolen. For mange elever fungerer de trolig bare som et manipuleringsobjekt som hjelper dem til å utføre kalkulasjonsoppgaver de ikke har noen begrepsmessig forståelse av. Hundrebrett kan gi elevene innsikt i posisjonssystemet, men de kan også være effektive hjelpemidler til å støtte opp under tellestrategier som ikke bygger på et kvalitativt skille ved 10. Konstitusjonalismen (og den fenomenografiske forskningsansatsen) gir oss et tankeredskap til å forstå hvilken tolkning av fenomenet den enkelte elev bygger sin virksomhet på. Kunnskap bygges opp av hver elev, og det er derfor nødvendig å finne ut hvordan den enkelte elev oppfatter det aktuelle problemområde. Ut fra en slik betraktningsmåte blir utsagn som det av Anne (7) interessante:

A: Vet du hva jeg sier nå? P: Nei.

A: Jeg sier en ti tre.

P: En ti tre? Hva betyr det?

A: Jo, jeg sier ikke tretten, jeg sier en ti tre.

Anne hadde i en periode før dette jobbet med posisjonssystemet. Hennes utsagn reflekterer en oppfatning der flersifrede tall bygges opp av tiere og enere. At hun i tillegg bruker sine egne ord (jfr. Johnsen Høines) forsterker inntrykket av begrepsmessig forankret og konstruert kunnskap. Denne måten å uttrykke flersifrede tall på er forøvrig helt i overensstemmelse med den måten dette uttrykkes på i mange asiatiske språk (f.eks. japansk, koreansk), men helt ulik norsk og de fleste vestlige språk. Forskning har vist at dette trolig er Ø viktig forklaring til at feks. koreanske barn har langt høyere prestasjoner hva angår både ferdighet og innsikt i arbeid med flersifrede tall enn barn fra vestlige land (Frankrike, Sverige og USA) (Miura, Okamoto, Kim, Steere & Fayol, 1993; Fuson & Kwon, 1992). Språk og tolkning henger dermed sammen. Språklige forhold vil kunne være en viktig hindring for norske barns forståelse av posisjonssystemet ettersom strukturen i matematikken ikke reflekteres i språket.

Jeg startet dette innlegget med å spørre om konkreter vil gi barna begrepsmessige innsikt. Ut fra det jeg nå har sagt vil et slikt spørsmål bare kunne besvares ved å ta rede på hvordan konkretene fungerer for det enkelte barn i forhold til den konkrete læringsoppgaven barnet har i hvert enkelt tilfelle. Den mening konkretene har for barnet vil måtte stå i fokus for vår interesse. I fenomenografisk tenkning vil en gruppe mennesker forstå et fenomen på et begrenset antall ulike måter. En er videre opptatt av å beskrive i hvilken grad de ulike oppfatningene gir grunnlag for en god faglig utvikling; mao. i hvilken grad de ulike oppfatningene er funksjonelle i forhold til å utvikle tenkning på symbolplanet. Å beskrive disse ulike måtene å forstå konkretiseringsmateriell vil være en viktig forskningsoppgave i åra framover. Det vil imidlertid være meningsfullt også for den enkelte lærer å legge et slikt perspektiv til grunn for sin undervisning. Samtaler læreren har med det enkelte barn, og ikke minst samtaler elever imellom, hvor de klargjør sin oppfatning av materiellet, vil kunne gi verdifull informasjon om barnets forståelse av kunnskapskomponenten, og danne et godt grunnlag for hvordan læreren bør legge opp sitt videre arbeid.

Litteratur:

Bereiter, C. (1985) Towards a solution of the learning paradox. Review of Educational Research, 55, 201-226.

Cobb, P., Yackel, E. & Wood, T. (1992) A constructivist alternative to the representational view of mind in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 23, 2-33.

Engström, A. (1993). Om de rationella talen i den grundläggande matematikundervisningen. Pedagogisk-psykologiska problem, nr.579. Lunds universitet.

Fuson, K.C. & Kwon, Y. (1992) Korean children's single digit addition and subtraction: Numbers structured by ten. Journal for Research in Mathematics Education, 23, 2, 148-165.

Fuson, K.C. & Briars, D.J. (1990) Using a base-ten blocks learning/teaching approach for fust- and second-grade place-value and multidigit addition and subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, 21, 180-206.

Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986) Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductionary analysis. I: Hiebert, J. & Lefevre, P. (red): Conceptual and Procedural Knowlegde: The case of Mathematics. Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Holt, J. (1982) How children fail. New York: Delta.

Johnsen, M.H. (1987) Begynneropplæringen. En fagdidaktikk for matematikkundervisningen 1. - 6. klasse. Bergen: Caspar Forlag.

Labinowicz, E. (1985) Learning from students: New beginning for teaching numerical thinking. Menlo Park, CA: Addison Wesley.

Marton, F. & Neuman, D. (1990) Constructivism, Phenomenology, and the Origin of Arithmetic Skills. I: Steffe, L. & Wood, T. Transforming Children's Mathematics Education. Hillsdale, New Jersey.

Miura, I.T., Okamoto, Y., Kim, C.C., Steere, M. & Fayol, M. (1993). First Graders' Cognitive Representation of Number and Understanding of Place Value: Cross-National Comparisons - France, Japan, Sweden,and the United States. Journal of Educational Psychology, 85, 1, 24-30.

Neuman, D. (1987) The origin of arithmetic skills. A phenomenographic approach. Göteborg: Acta universitatis Gothenbourgensis.

Ostad, S.A. (1990) Hvorfor har barn matematikkvansker? I: Ogden, T. & Solheim, R. (red.) Spesialpedagogikk. Perspektiver. Oslo: Universitetsforlaget.

Ostad, S.A. (1991) Tallbegrepenes funksjonalitet. Nordisk Tidsskrift for Spesialpedagogikk, 3.

Putnam, H. (1988). Representation and reality. Cambrigde: Bradford Books. Resnick, L.B. & Omanson, S.F. (1987) Learning to Understand Arithmetic. Advances in Instructional Pscychology. vol.3. Hillsdale, New Jersey.

Thomsen, P.W. (1992) Notations, Conventions and Constraints: Contribution to Effective Uses of Concrete Materials in Elementary Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 23, 2, 123-147.

Wistedt, I. (1994) Reflection, communication, and learning mathematics: A case study. Learning and Instruction, 4, 123-138.