Visuelle perspektiv: Lineær algebra

Forfatter: Reinert A Rinvoldomslag-linear-front

Denne boka gir en grunnleggende innføring i lineæralgebra hvor vekten legges på det todimensjonale tilfellet. Fremstillingsmåten er original, basert på et visuelt, geometrisk perspektiv. Emner som tas opp er lineære ligningssystemer, grunnleggende matriseregning, matriserepresentasjoner, skifte av koordinatsystem, ortogonale matriser, lineæravbildninger, determinanter, egenvektorer og egenverdier. Boka er skrevet til fordypningsstudier i lærerutdanningen, men er aktuell som støttelitteratur ved universitetsstudier.

ISBN 978-82-90898-32-0

Pris: 360,–

Her er fasit til oppgavene i boka.

Her kan du lese mer om innholdet:

Forord
Denne boka er en mindre revisjon av Lineær algebra kompendium utgitt på Caspar Forlag mars 2003. Det kompendiet var en svært omfattende revisjon av kompendiet med samme navn utgitt på Caspar Forlag i 2001. Boka er skrevet med tanke på bruk i kurset MA3 etter læreplanen for allmennlærerutdanningen fra 1998. Målgruppen er vordende og nåværende lærere som skal undervise i matematikk. Likevel er boka ikke en didaktikkbok. Den kan derfor også leses av de som ikke sikter mot skolen. Boka nærmer seg lineæralgebra på en geometrisk måte. Fremstillingen skiller seg ganske mye fra den standard fremstillingen som finnes i de fleste lineæralgebrabøker beregnet for universitet eller ingeniørutdanning. Vekten er lagt på innsikt fremfor beherskelse av regneteknikker og metoder. Studenter som nå eller senere vil studere mer avanserte kurs i lineæralgebra, kan ha stor hjelp av å arbeide med lineæralgebraens begreper ut fra den geometriske intuisjon i planet og rommet. En slik grunnleggende forståelse vil kunne gi en dypere innsikt og lettere tilgang til lineæralgebraens mer abstrakte ideer.

Den nødvendige bakgrunnen i geometri finnes i boka Avbildninger og symmetri med samme forfatter og på samme forlag. I tillegg til dette forutsettes kunnskaper i algebra og funksjoner tilsvarende det obligatoriske10-vekttallskurset MA1 i allmennlærerutdanningen etter læreplanen fra 1998. Tilsvarende kunnskaper kan selvsagt også tilegnes gjennom arbeid med andre bøker. Det er helt nødvendig å ha arbeidet med vektorer i planet og en fordel å ha en viss kjennskap til vektorer i rommet. Innsikt i kongruensavbildninger (isometrier) i planet er nødvendig. Begrepet sammensatt avbildning er sentralt. Orientering av koordinatsystemer samt like og odde avbildninger bør helst også være kjent.

Boka er delt opp i fire nummererte kapitler. Hvert underkapittel er også nummerert. For eksempel er underkapitlene under kapittel 2 nummerert som 2.1, 2.2 osv. Underkapitlene blir referert til som avsnitt og med nummeret sitt. Oppgaver er nummerert fortløpende innen hvert kapittel, men ikke etter underkapitler. Slutten på oppgaver og nummererte eksempler er markert med en *. Viktige resultater og definisjoner er plassert i rammer med grå bunn. Oppbygningen er helt tilsvarende den som Avbildninger og symmetri har. Fasit vil bli lagt ut på internett.

Boka har en systematikk og en struktur, men systematikken er mer preget av den pedagogiske og begrepsmessige logikk enn den rent matematikkfaglige. Likevel har matematikkens indre logikk og system en plass. Forfatteren har noe å fortelle. Hensikten er å formidle noen av de gode matematiske fortellingene. Både begreper, teknikker, tenkemåter og fagets struktur er en kulturarv som menneskene både enkeltvis og i felleskap har bidratt til. Vi ønsker at du skal gjøre denne kulturarven til din, ikke bare reprodusere den. Kunnskapen må bli en levende del av ditt eget liv.

Det pedagogiske spiralprinsippet finnes i kompendiet. Særlig er det tydelig hvis boka betraktes som en helhet sammen med Avbildninger og symmetri. Dette betyr at samme tema kommer opp flere ganger, men i nye sammenhenger og vanskegrader. Hensikten er at det nye knyttes til det kjente og at begreper gradvis bygges opp. En slik oppbygning kan stå i fare for å bli oppfattet som for repeterende, men forfatteren har forsøkt å skape en fremdrift som gir nok utfordring og nye vinklinger.

Bokas innhold
Første kapittel tar for seg lineære ligningssystemer. Addisjonsmetoden, substitusjonsmetoden og grafisk løsning gjennomgås, men leseren antas å ha en del bakgrunn i dette. Derimot ses det grundigere på parameterfremstilling av løsningen til underbestemte systemer.

I andre kapittel gis en grunnleggende innføring i matriser og regneoperasjonene vi kan utføre med dem. Gjennom virkelighetstilknytning skapes grunnlag for en intuisjon om at definisjonene og regnereglene er rimelige og fornuftige. Disse virkelighetstilknytningene er ikke ment som virkelig nyttige anvendelser, men som en klangbunn som skaper intuisjon. De er metaforer som legger et grunnlag for begrepsdannelse.

Det tredje kapitlet knytter forbindelsen mellom lineære ligningssystemer, matriser og geometriske avbildninger. Dermed blir matriseregningen knyttet til to matematiske områder som leseren forventes å ha endel erfaring med. Matriseregningen muliggjør en dypere innsikt i hvilke løsninger lineære ligningsystemer har og kan ha. Mange geometriske avbildninger kan representeres eller uttrykkes ved hjelp av matriser. Dette gir en ny vinkling som kan føre til at også kongruensavbildninger i planet ses i et nytt lys. Et eksempel er at sammensetning av avbildninger svarer til matrisemultiplikasjon. Ellers gir kapitlet en innføring i potenser av matriser. Dette begrepet generaliserer vanlig eksponentiell vekst. Potenser av matriser har en rekke anvendelser på vekst og utvikling av prosesser hvor flere størrelser gjensidig påvirker hverandre.

Boka kan betraktes som en firetrinnsrakett som gradvis gir større vanskegrad og kompleksitet samtidig som nye forbindelseslinjer og begreper innføres. Anvendbarheten av matematikken øker i tråd med dette. Kapittel fire er ganske stort og skulle kanskje vært delt opp. Det utgjør imidlertid en naturlig enhet. Begrepet lineæravbildning er en rød tråd. Dette begrepet gir en selvstendig beskrivelse av de avbildningene som kan representeres med matriser. En konsekvens er at det blir lettere å finne matriserepresentasjoner. Samme avbildning har ulike matriserepresentasjoner alt etter valg av koordinatsystem. Noen koordinatsystemer gir mye enklere matriserepresentasjoner enn andre. Ved å gå omvegen om slike systemer, kan vi også lettere beskrive avbildningen ut fra det standard koordinatsystemet.

Determinanter gir et annet viktig bidrag til innsikt i matriseavbildninger. Dette er en tallstørrelse som er knyttet til kvadratiske matriser. I planet forteller dette noe om arealet av avbildede figurer. I rommet sier determinanten noe om volum.

Det siste temaet er egenverdier og egenvektorer. De forteller at en avbildning avbilder vektorer i noen retninger på spesielt enkle måter. Koordinatsystemer basert på disse retningene gir god innsikt i hvordan potenser av en matrise utvikler seg.

Forfatterens pedagogiske og matematikkfilosofiske tenkning
Den pedagogiske fremstillingen er basert på at matematikk ikke bare dreier seg om tidløse objektive ideer eller formelle symbolsystemer. Derimot må hver enkelt danne sine subjektive versjoner av matematikkens objekter. Eksempler på matematiske objekter er “ti” og “tretti”. Vi tenker på tall som en slags ting, objekter. Disse objektene og begrepene dannes i samspill med andre gjennom samtale og dialog og gjennom mer monologiske fremstillinger som lærebøker. Hensikten er at boka skal understøtte dannelsen av gode og robuste begreper. En viktig del av vegen mot et slikt mål er å bygge forbindelser til tidligere og nåværende fysiske, språklige og visuelle erfaringer som er “byggesteiner” for begrepene. Viktig er naturligvis også dine tidligere matematiske erfaringer.

Eksperimentering og oppdagende aktiviteter er en viktig komponent i det læringssynet forfatteren står for. En del av dette kommer til syne i oppgavestoffet. Det legges opp til at du aktivt skal bruke både dataprogrammer og fysiske modeller underveis. Oppgavestoffet understøtter mange steder fremstillingen i boka, enten ved å forberede nytt stoff eller ved å bearbeide og utdype gjennomgått stoff. Både du som student og kursholdere som bruker kompendiet velger naturligvis likevel selv hvilke arbeidsmåter som benyttes. Hvordan studiet blir avhenger ikke bare av læreboka. Hvis det velges å hoppe over mange oppgaver fra kompendiet, så vær imidlertid klar over at det kan oppstå et behov for å supplere bokas fremstilling noen steder. Et annet poeng er at en lærebok aldri kan inneholde alle oppgaver eller oppgavetyper som noen kan føle behov for. Det er derfor en normal ting at de som holder et kurs supplerer med oppgaver fra andre kilder. Ikke minst kan en bok aldri helt fange opp de store variasjonene i bakgrunn som forskjellige studenter har.

Bokas historikk
I forhold til versjonen fra 2001 er revisjonen meget omfattende. Revisjonen av kompendiet fra mars 2003 til bok dreier seg først og fremst om retting av trykkfeil, forbedring av språket og endring av layout. Presentasjonsformen er valgt slik at boka fremstår nærmest som en fortsettelse av “Avbildninger og symmetri”.

Boka har en forhistorie som er et kompendium utgitt gjennom studentsamskipnaden ved Høgskolen i Hedmark, Elverum. Kompendiet på Caspar i 2001 var en mindre revisjon av dette.