Visuelle perspektiv: Avbildninger og symmetri

omslag-geometri-front

Forfatter: Reinert A. Rinvold

Denne boka gir en innføring i vektorregning, kongruensavbildninger og symmetri. Vekten legges på det todimensjonale tilfellet. Fremstillingsmåten sikter mot utvikling av robuste begreper gjennom god kontakt med det visuelle og konkrete. Forfatteren viser forbindelser mellom ulike emner i matematikken. Et eksempel er hvordan cosinussetningen og sinusproporsjonen henger sammen med vektorregningen. Boka er skrevet til fordypningsstudier i lærerutdanningen, men kan også brukes som støttelitteratur ved universitetsstudier.

Fasit

ISBN 978-82-90898-48-4
Pris: 360,-

 

 


Mer info om boka:

Forord
Denne boka er en mindre revisjon av Geometri kompendium utgitt på Caspar forlag 2002. Det kompendiet var en omfattende revisjon av kompendiet med samme navn fra 2001. Boka er skrevet med tanke på bruk i kurset MA3 etter læreplanen for allmennlærerutdanningen fra 1998. Målgruppen for boka er vordende og nåværende lærere som skal undervise i matematikk. Likevel er boka ikke en didaktikkbok. Den kan derfor også leses av de som ikke sikter mot skolen. Arbeidet med boka skal gi god bakgrunn til å kunne nærme seg lineæralgebra på en geometrisk måte. En slik innføring i lineæralgebra med vekt på geometri finnes i boka Lineær algebra med samme forfatter og på samme forlag.

Det forutsettes forkunnskaper svarende til det obligatoriske 10-vekttallskurset MA1 i allmennlærerutdanningen etter læreplanen fra 1998. Spesielt forventes det at leseren har en viss fortrolighet med det helt grunnleggende i plangeometri, trigonometri, kongruensavbildninger (isometrier) og symmetri. Vi forutsetter derimot ingen bakgrunnskunnskaper i vektorregning. Også det nye matematikkurset Matematikk 1 på 30 studiepoeng bør gi god nok bakgrunn til å lese boka.

Boka er delt opp i fem nummererte kapitler. Hvert underkapittel er også nummerert. For eksempel er underkapitlene under kapittel 2 nummerert som 2.1, 2.2 osv. Underkapitlene blir referert til som avsnitt og nummeret sitt. Oppgaver er nummerert fortløpende innen hvert kapittel, men ikke etter underkapitler. Slutten på oppgaver og nummererte eksempler er markert med en *. Viktige resultater og definisjoner er plassert i rammer med grå bunn. Fasit vil bli lagt ut på internett.

Boka har en systematikk og en struktur, men systematikken er mer preget av den pedagogiske og begrepsmessige logikk enn den rent matematikkfaglige. Likevel har matematikkens indre logikk og system en plass. Forfatteren har noe å fortelle. Hensikten er å formidle noen av de gode matematiske fortellingene. Både begreper, teknikker, tenkemåter og fagets struktur er en kulturarv som menneskene både enkeltvis og i felleskap har bidratt til. Vi ønsker at du skal gjøre denne kulturarven til din, ikke bare reprodusere den. Kunnskapen må bli en levende del av ditt eget liv.

Bokas innhold
Vektorregningen er delt i tre kapitler. Første kapittel tar for seg de grunnleggende sidene ved vektorbegrepet og regneoperasjonene med vektorer. Koordinater for vektorer blir også studert. Først i kapittel 2 ser vi på det vi kaller metriske egenskaper ved vektorer. Dette er slikt som lengder, vinkler og arealer. Noe av grunnen til denne kapitteldelingen er at vektorregning er forholdsvis enkelt før vi tar disse tingene i betrakting. Det andre kapitlet har sitt hovedfokus på skalarproduktet, som er det matematiske redskapet til å håndtere de metriske egenskapene. Selv om vanskegraden øker mye fra kapittel 1 til 2, blir vektorregningen også mer meningsfull. Det er lettere å se nytten av den. Vektorregning i rommet er viet et eget kapittel. Det er gjort for at de som ønsker det, kan hoppe over romgeometrien. En stor del av ideene i vektorregningen kan forstås gjennom å arbeide utelukkende med vektorer i planet.

Avbildninger i planet er tema for kapittel 4. Også her er romgeometrien holdt utenfor. Vi tror at det er unødvendig å trekke den inn for å oppnå innsikt i begrepene. Det meste av stoffet i kapittel 4 kan imidlertid generaliseres til tre dimensjoner uten alt for store modifiseringer. Forskjellen er blant annet at det er flere typer kongruensavbildninger i rommet, og at det er vanskeligere å se ting for seg. Et kapittel om symmetri avslutter kompendiet. Fremstillingen av symmetri bygger på at du har god innsikt i kongruensavbildninger. Ofte blandes begrepene symmetri og kongruensavbildning sammen. Dette kan bli klarere ved en slik kapitteldeling. Delingen er også basert på at du har en viss bakgrunn i symmetri og kongruensavbildninger fra før. De to emnene hører sammen, og disse trådene trekkes i siste kapittel. De som er helt ukjente med temaet kongruensavbildninger, profitterer trolig på å lese en fremstilling som behandler symmetri og kongruensavbildninger parallelt. Symmetri er en viktig motivasjon for kongruensavbildninger.

Kapitlene om avbildninger og symmetri kan leses uten bakgrunnskunnskapen fra kapitlet om vektorer i rommet. Boka om lineæralgebra vil også kunne leses av de med begrenset romgeometrisk innsikt, men inneholder underkapitler som gir de som har arbeidet med romgeometri valuta for sin innsikt!

Forfatterens pedagogiske og matematikkfilosofiske tenkning
Den pedagogiske fremstillingen er basert på at matematikk ikke bare dreier seg om tidløse objektive ideer eller formelle symbolsystemer. Derimot må hver enkelt danne sine subjektive versjoner av matematikkens objekter. Eksempler på matematiske objekter er “ti” og “tretti”. Vi tenker på tall som en slags ting, objekter. Disse objektene og begrepene dannes i samspill med andre gjennom samtale og dialog og gjennom mer monologiske fremstillinger som lærebøker. Hensikten er at kompendiet skal understøtte dannelsen av gode og robuste begreper. En viktig del av vegen mot et slikt mål er å bygge forbindelser til tidligere og nåværende fysiske, språklige og visuelle erfaringer som er “byggesteiner” for begrepene. Viktig er naturligvis også dine tidligere matematiske erfaringer.

Eksperimentering og oppdagende aktiviteter er en viktig komponent i det læringssynet forfatteren står for. En del av dette kommer til syne i oppgavestoffet. Det legges opp til at du aktivt skal bruke både dataprogrammer og fysiske modeller underveis. Noen oppgaver beveger seg inn på stoff som “ennå ikke er gjennomgått”. Oppgavestoffet understøtter mange steder fremstillingen i boka, enten ved å forberede nytt stoff eller ved å bearbeide og utdype gjennomgått stoff. Både du som student og kursholdere som bruker boka velger naturligvis likevel selv hvilke arbeidsmåter som benyttes. Hvordan studiet blir avhenger ikke bare av læreboka. Hvis det velges å hoppe over mange oppgaver, så vær imidlertid klar over at det kan oppstå et behov for å supplere bokas fremstilling noen steder. Et annet poeng er at en lærebok aldri kan inneholde alle oppgaver eller oppgavetyper som noen kan føle behov for. Det er derfor en normal ting at de som holder et kurs supplerer med oppgaver fra andre kilder. Ikke minst kan en bok aldri helt fange opp de store variasjonene i bakgrunn som forskjellige studenter har.

Matematisk språk og symbolbruk er en del av kulturarven som det er viktig å få et forhold til. Dette må imidlertid forstås på en rett måte. Symboler har en viktig plass i matematikken. De er ofte en forutsetning for danning av nye matematiske begreper og objekter hos elever og studenter. Et eksempel er at algebraen lenge nesten bare brukte ord, ikke symboler. Matematikerne greide faktisk å løse generelle tredje- og fjerdegradsligninger på den måten, men da var også yttergrensen nådd. For å komme videre viste det seg helt nødvendig å innføre en symbolsk algebra. Matematikkdidaktikeren Anna Sfard (Sfard, 1991) fremhever betydningen av robuste begreper og symboler for å komme videre og danne nye matematiske objekter eller begreper. Nye symboler må ikke innføres for tidlig, for da vil symbolene fungere som et andre ordens språk som stenger for læring. Oppmerksomheten kan bli dradd bort fra det matematiske og læringsmessige poenget, og du kan bli motløs av de uforståelige symbolene. Når du har oppnådd en viss fortrolighet med et nytt objekt, er tiden derimot inne til å innføre et symbol for det. Først når det utføres regneoperasjoner på objektene og dette uttrykkes symbolsk, inntreffer gjerne den virkelig gode innsikten. Det er fordi du blir tvunget til å arbeide mot forståelse for ikke å bli hektet av, men også fordi symbolene understøtter danningen av matematiske objekter. Regning med symboler for objektene peker på at de må oppfattes som en slags ting.

Et didaktisk problem er å bestemme rett progresjon og rett tidspunkt for innføring av symboler. Her er det behov for individuelle valg og individuell tilrettelegging. Det kan ikke en bok gjøre fullt ut, men bare studenter og lærere i felleskap. Tommelfingerregelen som forfatteren har basert seg på, er å begrense symbolbruken i starten av et emne og å unngå unødvendig symbolbruk. Det skal alltid være en motivasjon for innføringen av nye symboler. Et eksempel er geometriske avbildninger. Etter at du har fått arbeide med endel ulike avbildninger og grunnleggende begreper, innføres sammensetning av avbildninger. Til å begynne med brukes lite symboler, men så innføres symboler for både avbildningene og sammensetningsoperasjonen. Symbolene er helt nødvendige for å regne med sammensetninger.

Bokas historikk
I forhold til kompendiet fra 2001 er revisjonen omfattende. Noe nytt stoff om trigonometri er med. Det er et eget kapittel om vektorregning i rommet. Her er det med mer stoff enn tidligere. Kapitlene om avbildninger og symmetri er skrevet nesten helt på nytt. En ny presentasjonsform er valgt. Tanken er at boka nå skal være preget av en helhetlig tenkning. Revisjonen av kompendiet fra 2002 til bok er dreier seg først og fremst om retting av trykkfeil, forbedring av språket og endring av layout.

Boka har en lengre forhistorie som kan spores tilbake til ulike versjoner av et geometrikompendium utgitt gjennom studentsamskipnaden ved Høgskolen i Hedmark, Elverum. Første del av kompendiet fra Elverum ble utgitt som en del av Universitetsforlagets bok Matematikk 1 for allmennlærerutdanningen, bind 2, 1998. Den boka har nå gått ut av produksjon og forlaget har gitt rettighetene til stoffet tilbake til forfatterne.